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利用函数的单调性证明不等式

第一篇：利用函数的单调性证明不等式龙源期刊网http://.cn利用函数的单调性证明不等式作者：胡锦秀来源：《数理化学习·高一二版》2013年第04期函数的单调性是函数的重要性质之一，在不等式证明中扮演着重要角色.运用函数单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的函数，并将原问题进行等价转换，通过函数的增减性讨论，从而使问题得到圆满解决.一、利用一次函数的单调性证明不等式第二篇：利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式单调函数是一个重要的函数类,函数的单调性应用广泛,可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等,并且可使许多问题的求解简单明快.下面主要讨论单调性在不等式中的应用.定义3.1[8]设函数fx的定义域为D,区间ID,如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1x2时,恒有fx1fx2,则称函数fx在区间I上是单调增加的;如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时,恒有fx1>fx2,则称函数fx在区间I上是单调减少的.定理3.1[8]设函数yfx在a,b上连续,在a,b内可导.如果在a,b内fx0,那么函数yfx在a,b上单调增加;如果在a,b内fx0,那么函数yfx在a,b上单调减少.利用函数的单调性解决不等式证明问题,在高等数学中是经常使用的方法,下面通过几个例子来说明.例3.１[3]当0x2时,证明:2sinx1.x证明构造函数f(x)sinx,则xf'(x)xcosxsinxcosx2(xtanx).x2x因为0x调减函数.2'时,xtanx0,即f(x)0.所以由定义知f(x)在(0,2)内为严格单x0limf(x)f(x)limf(x).x02f(x)1,而limx0limf(x)x022,故1sinx2.xx2ln1xx.当x0时,证明:x2例3.2[2]证明构造函数f(x)ln(1x)x,则f'(x)1x,当x0时,11x1xf'(x)0.所以定义知f(x)在0,内为严格单调减函数.f(x)f(0)0,即故x0时f(x)limx0ln(1x)x0,ln(1x)x.x21x2'ln(1x),则g(x)1x再构造函数g(x)x.21x1x当x0时g(x)0,所以由有限增量公式知g(x)在x0时为严格单调减函数,故当x0时,g(x)limg(x)g(0)0.即x0'x2x2xln(1x)0,xln(1x).22x2ln1xx.综上所证,当x0时x2第三篇：利用函数单调性证明积分不等式(修改)利用函数单调性证明积分不等式黄道增浙江省台州学院（浙江317000）摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。关键词：函数单调性积分不等式辅助函数中图分类号O172.2积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。1利用被积函数的单调性证明方法根据----定积分性质之一：设f(x)与g(x)为定义[a,b]在上的两个可积函数，若f(x)g(x),x[a,b]，则f(x)dxg(x)dx.aabb例1设f(x)为[0,1]上非负单调递减函数，证明：对于01，有证明：由f(x)的单调递减性得：若0x1，有f(x)f()所以f(x)dxf()dxf()（1）000f(x)dxf(x)dx同理有f(x)dxf()dx()f()（2）由（1）（2）得：10f(x)dxf()1f(x)dx（3）将（3）式两边同乘以()，有0f(x)dxf(x)dxf(x)dx1，所以f(x)dx因为0例2试证：1cosxx201sinxx20dx.分析：不等式两边的积分是瑕积分。在两边的积分中分别作变换tarccosx与00tarcsinx，原不等式可化为cos(sint)dt2sin(cost)dt，欲证不等式，只需证明cos(sint)sin(cost)，t(0,)，而cos(sint)sin(sint)sin(cost)。22因为