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勾股定理的几种证明方法（优秀范文5篇）

第一篇：勾股定理的几种证明方法勾股定理证明的几种证明方法一、教学内容：勾股定理1.掌握勾股定理，了解用拼图的方法验证勾股定理．2.能够利用勾股定理进行有关的计算或推理．3.能够运用勾股定理解决简单的实际问题．二、知识要点：1.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝__________，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是__________．证法一（拼图法）：如图所示，因为大正方形的边长为a＋b，所以面积为（a＋b）2；中间小正方形的面积为c2，周围四个直角三角形的面积为4×ab；于是有（a＋b）2＝c2＋4×ab，整理得a2＋b2＝c2．babaccbcaba(1)证法二（拼图法）：如图所示，因为大正方形的边长为a＋b，所以面积为（a＋b）2．又因为此正方形的边长与图（1）中的正方形边长相等，所以它们的面积也相等．故a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab，所以得到a2＋b2＝c2．aabcacbbbb证法三（拼图法）：如图所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的(2)等腰直角三角形拼成的，由梯形的面积公式，得S梯形＝（a＋b）（a＋b）＝（a＋b）2．而S222222梯形＝ab×2＋c．故（a＋b）＝ab＋c，整理得a＋b＝c．cbcabaa证法四（拼图法）：如图所示，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的．因(3)为大正方形的面积为c2，四个直角三角形的面积和为4×ab，中间的小正方形的面积为（b－a）2，故c2＝4×ab＋（b－a）2，整理得a2＋b2＝c2．c(4)2.怎样用勾股定理解决面积问题求分别以直角三角形的三条边为边长的正方形的面积之间的关系，关键是找出正方形的面积与三角形的边之间的关系．如图（1）所示，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，可以很容易得出S1、S2、S3之间的关系．因为△ABC为直角三角形，所以AB2＝AC2＋BC2，而S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，故S1＝S2＋S3，图（2）中S1、S2、S3之间的关系也可以用以上方法得到．CS3AS1(1)BS2(2)3.立体图形中的最短路径问题（1）圆柱中的最短路径．如图①所示，圆柱的底面周长为20cm，高为4，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试画出蚂蚁爬行的最短路径．因为爬行是在立体图形的表面上进行的，所以可以把立体图形转化成平面图形，即它的侧面展开图（如图②所示），再看出发点与目的点之间是哪条线段，需要时可根据勾股定理求出这条线段的长度．CCBBA①DAD②（2）正方体中的最短路径．如图③中的正方体，棱长为1，若一只小虫从点A爬到点C，它爬行的最短路径是多少？将正方体展开后（如图④所示），因为从点C出发有三条棱，故点C有三处位置，即点C1、C2、C3，分别连结AC1、AC2、AC3，可得它们的长度都是，故这只小虫爬行的最短路径为．注意：当图③中的立体图形为长方体时，也是用同样的方法进行分情况比较，但沿这些不同路径，所走路程可能会不同．CC3A③④C1C2A三、重点难点：重点是掌握勾股定理的内容，难点是勾股定理的应用．【典型例题】例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，a＝4，求b、c，△ABC的面积及斜边AB上的高．AbcDC分析：在Rt△ABC中，由∠B＝60°可知∠A＝30°，根据30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可求出c，然后根据勾股定理求出B.进一步用面积公式S△ABC＝ab，求出S△ABC，最后由ab＝c·CD，求CD的长或者是在Rt△ACD中，用30°的锐角所对的直角边CD等于斜边AC的一半来求．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°．又因为a＝4，所以c＝8．根据勾股定理得b2＝c2－a2＝82－42＝48，所以b＝＝4．所以S△ABC＝ab＝×4×4＝8．在Rt△ACD中，因为∠A＝30°，所以CD＝AC，所以CD＝×4＝2．评析：直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半．例2.一个零件的形状如图所示，已知AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm．求CD的长．DCABBa分析：要求CD的长，由图知CD＝BC＋BD，BD的长已知，在Rt△ABC中，应用勾股定理，求得BC，进而求CD.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC2＝AC2＋AB2＝32＋42＝25．在Rt△CBD中，根据勾股定理，得CD2＝BC2＋BD2＝25＋122＝169，所以CD＝13．评析：BC在本图中，既是Rt△ABC的斜边，又是Rt△CBD的直角边．例3.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都