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勾股定理的历史与证法（最终版）

第一篇：勾股定理的历史与证法（最终版）勾股定理的历史与证法勾段定理有着悠久的历史，人们对勾股定理的认识，经历了一个由特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发现的．我国最早的记载见于2000多年前成书的著名数学典籍《周髀算经》中商高（公元前1120年）答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五．”因此我国也称勾段定理为商高定理．三国时数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出了一幅图（即图19－15中的2），被称为弦图，在2002年北京国际数学家大会上被用作会标．勾股定理在欧洲被称为毕达哥拉斯定理，1955年希腊发行的一枚邮票上给出了由三个棋盘构成的图案（形状同教科书的图），就是为了纪念发现这个定理的毕达哥拉斯（pythagoras，公元前580－前500）学派．他们还找到如下求勾股数的式子①，古希腊的思想家柏拉图也曾给出类似的式子．后来数学家丢番图又给出了构造勾股数的一般法则：a,b是正整数，2ab是完全平方，则②是勾股数．我国的著名数学家刘徽在公元263年也给出了下面的式子③．xyz①n1(n1)2xa2ab2yb2ab12(n1)zab2ab2②③偶的正整数且uv）xuv122y(uv)2122z(uv)2（u,v是同奇勾股定理是数学上证明方法最多的定理，到今天已有四百多种证法．如图是我们在课本中的几种证明方法：其中（3）出自美国第20任总统伽菲尔德（J．A．Garfield），他在1876年利用梯形面积公式证明了勾股定理．这其中还有个小故事呢．1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员，后来是美国第二十任总统的伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角过分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心研究小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法，就是上面图（3）．另外还有如下常见证明办法：①如图，两个正方形过长分别是a,b，它们的面积和为ab，构造了以a,b为直角边的直角三角形，斜边为c，把两个直角三角形各旋转90°，构成正方形，22且它的面积为c．②如图，直角三角形ABC,AD为斜边BC上的高，利用相似三角形的性质可得：ABBCBDABAC和BC2DCAC22，即：ABBDBC和ACDCBC．22．亲爱的同学，你还记得在初一学习时我们遇到的七巧板吗？当时我们利用它摆出了好多漂亮的图案，你可知道用两副同样大小的七巧板也可以来说明勾股定理吗？请看下图．两式相加得：ABACBDBCDCBC(BDDC)BCBC聪明的你还能想出几个办法证明勾股定理吗？试画图并做简要说明．第二篇：浅谈勾股定理的几种证法浅谈勾股定理的几种证法子洲三中陕西子洲乔智718499【摘要】勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方【关键词】:割补法达芬奇的证法加菲尔德图证法1（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。证法2（图2）第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方。形“小洞”。因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的