北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.6.docx

北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.6

第一篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.6习题1.61.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x),xlimP(x),存在A,B,AB,P(A)0,P(B)0,P在[A,B]连续,根据连续函数x的中间值定理,存在x0(A,B),使得P(x0)0.2.设01,证明对于任意一个y0R,方程y0xsinx有解,且解是唯一的.证令f(x)xsinx,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f在[|y0|1,|y0|1]连续,由中间值定理,存在x0[|y0|1,|y0|1],f(x0)y0.设x2x1,f(x2)f(x1)x2x1(sinx2sinx1)x2x1|x2x1|0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2(a,b),m10,m20,证明存在(a,b)使得f()m1f(x1)m2f(x2)m1m2.证如果f(x1)f(x2),取x1即可.设f(x1)f(x2),则f(x1)m1f(x1)m2f(x1)m1m2m1f(x1)m2f(x2)m1m2m1f(x2)m2f(x2)m1m2f(x2),在[x1,x2]上利用连续函数的中间值定理即可.4.设yf(x)在[0,1]上连续且0f(x)1,x[0,1].证明在存在一点t[0,1]使得f(t)t.证g(t)f(t)t,g(0)f(0)0,g(1)f(1)10.如果有一个等号成立,取t为0或1.如果等号都不成立,则由连续函数的中间值定理,存在t(0,1),使得g(t)0,即f(t)t.5.设yf(x)在[0,2]上连续,且f(0)f(2).证明在[0,2]存在两点x1与x2,使得|x1x2|1,且f(x1)f(x2).证令g(x)f(x1)f(x),x[0,1].g(0)f(1)f(0),g(1)f(2)f(1)f(0)f(1)g(0).如果g(0)0,则f(1)f(0),取x10,x21.如果g(0)0,则g(0),g(1)异号,由连续函数的中间值定理,存在(0,1)使得g()f(1)f()0,取x1,x21.第二篇：北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.4习题1.41.直接用-说法证明下列各极限等式:(1)limxaxa(a0);(2)limxa;(3)limee;(4)limcosxcosa.xaxaxa22xa证(1)0,要使||xa|xa||x-a|xa,由于|x-a|xa|x-a|ax,a|,故lim只需,|xa|a.取a,则当|xa|时,|xa.axa(2)0,不妨设|xa|1.要使|x2a2||xa||xa|,由于|xa||xa||2a|1|2a|,只需(1|2a|)|xa|,|xa|当1|2a|.取min{1|2a|,1},则|xa|时,|x2a2|,故limx2a2.xa(3)0,设xa.要使|exea|ea(exa1),即0(exa1)ea,1exa1ea,0xalnmin{1,1},则当0xa时,|exeaa,取|e|2a|,1故limexea.类似证limexea.故limexea.xaxaxa(4)0,要使|cosxcosa|2sinxaa2sinxa22sinxa2sinx2|xa|,取,则当|xa|时,|cosxcosa|,故limcosxcosa.xa2.设limf(x)l,证明存在a的一个空心邻域(a,a)(a,a),使得函数uf(x)在xa该邻域内使有界函数.证对于1,存在0,使得当0|x-a|时,|f(x)l|1,从而|f(x)||f(x)ll||f(x)l||l|1|l|M.3.求下列极限:2(1)lim(1x)21lim2xxlim(1x1.x02xx02xx02)22sin2x(2)lim1cosx21sinx1x0x2limx0x22lim2121.x0x