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向量证明重心

第一篇：向量证明重心向量证明重心三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。2设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=03如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1证明：用归一法不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b在三角形ABO中，AO=BO-BA所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b因为向量a和b线性无关，所以-y=x/2-1y/2=x/2解得x=y=2/3所以A0：AD=BO：BE=2：3故AO：OD=BO：OE=2:1设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1证毕!4设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满足：X=X1+X2+X3/3Y=Y1+Y2+Y3/3设:AB的中点为D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理:y=(y1+y2+y3)/35如图。第二篇：向量证明重心向量证明重心三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。2设BC中点为M∵pA+pB+pC=0∴pA+2pM=0∴pA=2Mp∴p为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴p是三角形ABC重心的充要条件是pA+pB+pC=03如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1证明：用归一法不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b在三角形ABO中，AO=BO-BA所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b因为向量a和b线性无关，所以-y=x/2-1y/2=x/2解得x=y=2/3所以A0：AD=BO：BE=2：3故AO：OD=BO：OE=2:1设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1证毕!4设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满足：X=X1+X2+X3/3Y=Y1+Y2+Y3/3设:AB的中点为D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1