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向量小结与复习

第一篇：向量小结与复习高中数学教案第五章平面向量（第23课时）课题：5.13向量小结与复习（2）教学目的：1.熟悉向量的性质及运算律；2.能根据向量性质特点构造向量；3.熟练平面几何性质在解题中应用；4.熟练向量求解的坐标化思路.5.认识事物之间的内在联系；6.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识.教学重点：向量的坐标表示的应用；构造向量法的应用.教学难点：构造向量法的适用题型特点的把握授课类型：复习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:启发引导式针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力教学过程：一、讲解范例：例1利用向量知识证明下列各式22(1)x＋y≥2xy22(2)｜x｜＋｜y｜≥2x·y分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系.(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证.证明：(1)设a＝（x，y），b＝（y，x）则a·b＝xy＋yx＝2xy222222｜a｜·｜b｜＝xyxyxy又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ为a，b夹角)≤｜a｜·｜b｜22∴x＋y≥2xy(2)设x，y的夹角为θ，则x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤22xy222∴｜x｜＋｜y｜≥2x·y22评述：(1)上述结论表明，重要不等式a＋b≥2ab，无论对于实数还是向量，都成立.(2)在(2)题证明过程中，由于｜x｜，｜y｜是实数，故可以应用重要不等式求证.例2利用向量知识证明22222(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量.证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）则a·b＝a1b1＋a2b2，222222｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ为a，b夹角)222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜22222∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论.这一技巧应要求学生注意体会.例3已知ｆ（x）＝x2求证：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的.也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证.下面给出两种证法.证法一：∵ｆ（a）＝a2，ｆ（b）＝b2，∴要证明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜只需证明｜a2－b2｜＜｜a－b｜2222222即1＋a＋1＋b－2(1a)(1b)＜a＋b－2ab22即(1a)(1b)＞1＋ab2222只需证明（(1a)(1b)）＞（1＋ab）即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab22即a＋b＞2ab22∵a＋b≥2ab又a≠b22∴a＋b＞2ab∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b）则｜a｜＝a2，｜b｜＝b2222222a－b＝（O，a－b）｜a－b｜＝｜a－b｜由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中当｜a｜＝｜b｜即a＝b时，取“＝”，而a≠b∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b｜即｜a2－b2｜＜｜a－b｜∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的认识.上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性.下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用.例4已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证AC⊥BD.分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件.证法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜－｜｜＝O∴⊥证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）222则由｜AB｜＝｜BC｜得a＋b＝c∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，