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向量与点到直线的距离公式的证明

第一篇：向量与点到直线的距离公式的证明向量与点到直线的距离公式的证明安金龙（苏州工业园区这样处理，既避开了分类讨论，又体现了平面向量的工具性。当然，解析几何作为一个内涵丰富的数学分支，它和其它数学知识也会有密切的联系，下面笔者列举另外几种推导方法：2用习题结论巧推点到直线距离公式老教材代数课本（人教版，下册.必修）习题十五第6题：已知：ad,求证：（bc（a)2b2)c(d当cad,b即c，a)bdab时，有（a2b2（）c2d2)（acbd)2.cd上式实为柯西不等式的最简形式，很容易证明.故略去。下面给出点到直线的距离公式的最简推导。已知点P(x0,y0)和直线l:AxByC0,则点到直线的距离即为点P到直线l上任意点所连结的线段中的最短线段.设Mx,y为直线l上任意一点，点P到直线l的距离为d，则：(AxAx0)2(ByBy0)2PMPM22AB2(ByBy0)222222(AxAx0)(AB)PM(AB)[]22AB(AxAx0ByBy0)2＝(Ax0By0C)2ABdPMmin，当且仅当时等号成立。xx0yy03用直线的参数方程推导点到直线距离公式证明：当AB0时易验证公式成立，下证AB0时的情形：（1）B>0时,过点P作直线L的垂线，垂足为H，则直线PH的标准参数方程为：xxt0(t为参数）yyt0将直线PH的参数方程代入直线L的方程得：A（x0t+B（y0tx，解之得点H对应的参数tC0PHdPH（2）当B时，直线PH的标准参数方程为：xxt0(t为参数）yyt0可得PHdPH4构造引理推导点到直线距离公式引理：如图1，直角三角形MPN中，MPN90，MPa,NPb,则点P到直线MN的距离d满足a图1N.222dab证明：由直角三角形的面积公式得：MPNPMNd，2211111即ab，所以222.d，即dab2dab下面就用引理证明点Px0,y0到直线l：AxByC0的距d证明：当0时易证公式成立.当AB0时，如图2所示,过点Px0,y0分别作平行于x轴,y轴的两条直线,分别交直线l：AxByC0ByCAxC于点M(-,y0)、N(x0,-)，则ABB0yCMP0,AAxCNPy00.MPNP,在RTMPN中，B点P到直线MN的距离d满足：11111＝22222dMPNP(x00)(y00)BA2B2,所以d＝2(Ax0By0C)参考文献：[1]全日制普通高级中学教科书（人教版）（试验修订本.必修）第二册（上）第55～56页.[2]王国平.中学生数学.用习题结论巧推点线距离公式2001年1月上[3]张乃贵、段萍中学生数学.点到直线的距离公式的又一证明.2001年1月上[4]陈志新.点到直线距离公式的又一证法.中学生数学.2001年6月上离为：第二篇：高中数学_谈“点到直线距离公式”的向量推导方法谈“点到直线距离公式”的向量推导方法贵州省黄平县旧州中学杨胜万在人教大纲版高二数学上册中,关于点到直线距离公式的推导方法,教材介绍了两种推导方法,并详细给出了利用直角三角形的面积公式推导得出点到直线的距离公式的具体过程。其实关于点到直线的距离公式的推导方法，除上述方法之外，还有其它很多方法，在这些方法中，向量法（利用平面向量的有关知识来推导的方法）是一种行之有效的推导方法。其推导思路简单明了、运算量也较小。下面笔者给出向量法推导点到直线的距离的具体过程，以供同行参考：已知直线：和点，为点到直线的距离。现不妨设且，则直线的斜率为，其方向向量为，从而易知其法向量，又设点为直线上的任一点（如图所示），于是有：由平面向量的有关知识，可得：显然，当或时，上述公式仍成立。上述推导方法利用了向量的数量积知识来进行推导出了点到直线的距离公式，这是一种比较重要有数学思想方法。我们还可将这种思想方法进一步推广到在立体几何中，如何利用空间向量解决求点到平面的距离问题。第三篇：高中数学教案点到直线的距离公式高中数学教案【课题】点到直线的距离公式【课题类型】新知课【教学目的】1.使学生了解点到直线的距离公式的推导过程2.要求学生牢记并会灵活运用点到直线的距离公式【重点】掌握并会灵活运用点到直线的距离公式【难点】点到直线的距离公式的推导过程【教学过程】1.引出新课⑴提出问题让同学们思考，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0,y0），直线L的方程Ax+By+C=0，那么怎样由点的坐标和直线的方程直接求出点P到直线L的距离呢？⑵提问问题找同学回