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圆的切线方程公式证明

第一篇：圆的切线方程公式证明已知:圆的方程为:(xb)²=r²,圆上一点P(x0,y0)解:圆心C(a,b)直线CP的斜率:k1=(y0a)因为直线CP与切线垂直,所以切线的斜率:k2=-1/k1=a)/(y0y0=k2(xy0=[-(x0b)](xx0)(x0y0)(y0ax+ax0+y0yx0²a)²+(y02ax0+a²+y1²x0²2by0+a²+b²ax+ax0+y0y2by0+a²+b²axyba)(xb)(y(x0+D/2)/(y0+E/2)根据点斜式,求得切线方程：yx0)yx0)整理得:x0x+y0y+Dx/2+Ey/2Ey0/2-x0²x0²Dx0/2a)²+(yMC²)(根据勾股定理)=√[(x0b)²MC²)(根据勾股定理)=√[(x0+D/2)²+(y0+E/2)²-((√(D²+E²-4F))/2)²](半径:r=(√(D²+E²-4F))/2)=√(x0²+y0²+Dx0+Ey0+F)第二篇：中考复习专题——如何证明圆的切线如何证明圆的切线证明直线是圆的切线，通常有的两种方法：一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．证明：连接OC，BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．∵∠CAB＝30º，∴BC＝∵BD＝OB，∴BC＝图1AB＝OB．2OD．∴∠OCD＝90º．2∴DC是⊙O的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD＝90º．二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．【例2】如图2，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E．求证：OB与⊙D相切．思路：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，证明DE＝DF即可，这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得．请同学们写出证明过程．图2【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性．【例3】如图3，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点图3的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴AC平分∠DAB．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】如图4，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．证明：连接OD．∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．∴DC是⊙O的切线．【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OD⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的．图42第三篇：点到直线距离和圆的方程公式点到直线距离公式：(x0,y0)到AX+BY+C=0d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)证明：点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C=0的距离：设PQ垂直直线L于Q，当B＝0时，直线L为：x=-c/a,所以d＝|x0-(-c/a)|＝|ax0+c|/√a^2当a＝0时，直线L为：y=-c/b,所以d＝|y0-(-c/b)|＝|by0+c|/√b^2当a≠0，b≠0时，直线L的斜率为：k=-a/b,直线PQ