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均值不等式及其应用

第一篇：均值不等式及其应用教师寄语：一切的方法都要落实到动手实践中高三一轮复习数学学案均值不等式及其应用一．考纲要求及重难点要求：1.了解均值不等式的证明过程.2.会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.二．考点梳理ab1.均值定理：；2（1）均值不等式成立的条件是_________.（2）等号成立的条件是：当且仅当_________时取等号.（3）其中_________称为正数a,b的算术平均值，_________称为正数a，b的几何平均值.2.利用均值定理求最值M21）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，4＋等号当且仅当a＝b时成立.简记：和定积最大。2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，＋等号当且仅当a＝b时成立.简记：积定和最小。3、几个重要的不等式（1）ab2ab(a,b∈R)（2）22ba2(a,b同号）aba2b2ab2ab2()（a,bR）（3）ab()（a,bR）（4）222三、学情自测1、已知a0，b0，且ab2，则（）112222A、abB、abC、ab2D、ab3222、给出下列不等式：①a12a212；③x221，其中正确的个数是x1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为___________。125.已知正数a,b，满足ab1，则的最小值为ab3、设x0，则y33x均值不等式及其应用（）四．典例分析考向一：利用均值不等式求最值212xy22x3xy4yz0,则当z取得最大值时,xyz的最大例1、（2013山东）设正实数x,y,z满足值为（）A．0B．19C．4D．3x27x10变式训练1.若x1，求函数f(x)的最大值。x12.（2013天津数学）设a+b=2,b>0,则当a=______时,考向二、利用均值不等式证明简单不等式例2、已知x0,y0,z0，求证：（变式训练2、已知a,b,c都是实数，求证：abc2221|a|取得最小值.2|a|byzxzxy)()()8xxyyzz1(abc)2abbcac3考向三、均值不等式的实际应用例3、小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)变式训练：如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。（1）现有可围36米长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？五、当堂检测1、若a,bR且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）2A、ab2abB、ab、11ba、2abab2、若函数f(x)x1(x2)在xa处取得最小值，则a（）x2A、1B、1C、3D、4ab3、已知log2log21，则39的最小值为___________。ab4.若点A1,1在直线mxny20上,其中mn0,则11的最小值为__________.mn六、课堂小结七、课后巩固511、已知x，则函数y4x2的最大值是（）44x51A、2B、3C、1D、2(ab)22、已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是cdA、0B、1C、2D、43、已知b0，直线(b1)xay20与直线xby10互相垂直，则ab的最小值为（）A、1B、2C、D、4、已知x0,y0,xyxy8，则xy最小值是___________。5、若对任意x0,22xa恒成立，则a的取值范围是___________。2x3x16.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元,今年,工厂第一次投