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均值不等式应用

第一篇：均值不等式应用均值不等式应用一．均值不等式22ab1.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则abab时取“=”）2222.(1)若a,bR*，则ab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）2ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR*，则ab）223.若x0，则x取“=”）1）;若x0，则x12(当且仅当x1时2(当且仅当x1时取“=”xx若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）xxxab4.若ab0，则2(当且仅当ab时取“=”）ba若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababaab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22注：（1）3.已知x,yR,x+y=s,xy=p.6．及值定理：①若p为定值，那么当且仅当时，s=x+y有；②若s为定值，那么当且仅当时，p=xy有。（备注）：求最值的条件“一正，二定，三取等”应用一：求最值解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x5，求函数y4x21的最大值。44x51不是常数，所以对4x2要进行拆、4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)凑项，∵x511,54x0，y4x254x323144x554x当且仅当54x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求yx(82x)的最大值。1解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。32x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)22223当且仅当2x32x,即x30,时等号成立。42技巧三：分离x27x10(x1)的值域。例3.求yx1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。(t1)27(t1）+10t25t44y=t5ttt当,即t=时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x调性。例：求函数yAB(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不g(x)a的单x2的值域。2t(t2)，则y1t(t2)t因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为,。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.t1t1t5。25211x23x1y2sinx,x(0,)y2x,x3,(x0)(3)（1）y（2）sinxx3x2．已知0x1，求函数y3．0x.；，求函数y3.条件求最值ab1.若实数满足ab2，则33的最小值是.解：3和3都是正数，33≥23a3b3ab6ababababab当33时等号成立，由ab2及33得ab1即当ab1时，33的最小值是6．变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y0，且1，求xy的最小值。xy19191，xyxy12xyxy错解：∵x0,y0，且．．故xymin12。错因：解法中两次连用均值不等式，在xyxy，在19xy成立条件是即y9x,取等号的条件的不一致，产