复数思想在平面几何中的应用（精选合集）.docx

复数思想在平面几何中的应用（精选合集）

第一篇：复数思想在平面几何中的应用复数思想在平面几何中的应用一、基本思想用复数解几何问题的重要依据是复数的向量表示。凡是能用平面向量运算能解的题目，也一定可以用复数运算来求解，而且由于复数乘法用来实现向量的旋转，比向量解法显得更简便，使一些问题几乎只留下直截了当的计算，而不必多费脑筋。解题的关键在于熟练掌握复数运算的几何意义。二、复数的表示及常用结论（1）复数zxyi与复平面上的点(x,y)建立一一对应。|z|表示点z到原点的距离，给定复数z，以原点为起点，以z为终点作向量oz，在复平面上，复数z也可与向量oz建立一一对应。因此，我们在应用中记号z同时可表示复数z、点z，以及向量oz而不加以区别。（2）zr(cosisin)rei是复数表示的三角形式及指数形式。r|z|，是实轴正向到向量oz的旋转角，有无穷多个值，规定02时，称为辐角主值，记为argz。（3）复数加减法与平面向量加减法的平行四边形法则一致。|z1z2|表示z1与z2间的距离，且有不等式z1z2z1z2z1z2。前（后）一个不等式成立的充要条件是z1与z2反（同）向。（4）复数乘法的几何意义是向量的旋转和伸缩，具体地为①ze表示将向量oz旋转角。②z(R)表示将z伸缩到原来的倍。（5）定比分点公式设z1、z2是直线l上的两个定点，R，z是l上任一点，且iz1z，则z1z2z(1)z1z2，特别地，线段z1z2的中点z又ABC重心Gz1z2。2ABC，且由此得3z1,z2,z3共线存在不全为零的实数1,2,3使1230且1z12z23z30.若z1,z2,z3不共线，且存在实数1,2,3同时满足1230且1z12z23z30，则123.（6）三角形的面积公式设z1z2z3是复平面上一个正向三角形（z1,z2,z3按逆时针方向绕行），则Sz1z2z31Im(z1z2z2z3z3z1)2证明：如图因为argz3z1zz1，所以ei3z2z1z2z1z3z1|z2z1|(z3z1)z2z1|z3z1|(z2z1)S11|z2z1||z3z1|sin|z2z1||z3z1|Im(ei)22|zz|(zz)1|z2z1||z3z1|Im21312|z3z1|(z2z1)(zz)1Im|z2z1|231(|z|2zz)2(z2z1)1Im[(z2z1)(z3z1)]21Im(z1z2z2z3z3z1)2由该结论，又有z1,z2,z3共线z1z2z2z3z3z1R.（7）n个n次单位根将原点为圆心的单位圆n等分，即z1的根为01,1e以原点为圆心的单位圆的内接正n边形的顶点，且有ni2n，n1ei2(n1)n是122,133，1n1n1.（8）z1z2z3为正向正三角形的充要条件是：z1z2z30，其中e22i23是一个3次单位根。（10）2或uz1uz2z30，其中ue3.（u2u1,u31）证明：若z1z2z3为正向正三角形，则，且z1z2到z1z3扫过的有向角为i，即3z3z1(z2z1)e3(z2z1)u，由此可得(u11z)u2z22u1u，又z03i故上式写为uz1uz2z30.另外，由此式反推回去可证明z1z2z3为正向正三角形。（9）复平面上任意三点不共线的四点A、B、C、D形成平行四边形A＋C＝B＋D（即对角线互相平分）.三、例题分析例1延长△ABC的三边BC、CA、AB到A、B、C，使CA:BCAB:CABC:AB.证明：ABC与ABC有相同的重心。证明：设CA:BCAB:CABC:AB由定比分点公式有A(1)CB，B(1)AC，C(1)BA，故ABCABC，从而重心坐标相同。■例2凸四边形对边中点的连线叫做此四边形的中位线。若某凸四边形两中位线长度之和等于周长之半，求：此四边形为平行四边形。(1980年苏联列宁格勒数学竞赛试题)证明：设此四边形的四顶点的复数表示为A、B、C、D，利用中点公式，则题目的条件是ABCDBCDA1(|AB||BC||CD||DA|)22222于是(AD)(BC)(BA)(CD)|AB||BC||CD||DA|由此可见，在下列不等式(