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导数的应用(三)

第一篇：导数的应用(三)课题：导数的应用（三）一、学习目标：1．能利用导数解决函数的方程根的个数问题；2．利用导数解决不等式问题五、达标训练：二、重点、难点:利用导数研究与函数的极值与最值有关的综合问题三、知识梳理：1．函数的极值2．利用导数求函数最值的步骤：（1）（2）（3）（4）3．如何利用导数研究方程根的问题？4．如何利用导数研究不等式问题？5．恒成立问题如何转化为函数最值问题？四、典型例题：例1：设函数f(x)x6x5,xR（1）求函数f(x)的单调区间和极值（2）若关于的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围（3）已知当x(1,)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围例2:已知a,b为实数，bae，其中e为自然对数的底数.求证：abba例3:已知函数f(x)alnxx1bx，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30．（I）求a，b的值；（II）证明：当x>0，且x1时，f(x)lnxx1．1．已知函数f(x)x33x2c，若当x[1,3]时，f(x)14c2恒成立.求实数c的取值范围2．设函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)ax3ax21f(1)12x,aR（1）求f(1)；（2）若函数f(x)在R上不存在极值，求实数a的取值范围.3．设函数f(x)xlnx(x0,x1)11）求函数f(x)的单调区间（2）已知2xxa对任意x(0,1)都成立，求实数a的取值范围【收获总结】（第二篇：浅谈导数的几点应用浅谈导数的几点应用导数是解决数学问题的重要工具，很多数学问题如果利用导数探求思路，不仅能迅速找到解题的切入点，而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果。如在求曲线的切线方程、方程的根、处理函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。一、利用导数求曲线的切线方程例1.已知函数f（x）=x3-3x过点A（0，16）作切线，求此切线的方程。解：∵点A（0，16）不在曲线f（x）=x3-3x上∴可设切点为B（x0，y0），则y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）∴曲线f（x）=x3-3x在点B（x0，y0）处的切线方程为l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又点A（0，16）在l上∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）∴x03=-8，x0-2，切点B（-2，-2）所求切线方程为9x-y+16=0。二、讨论方程的根的情况例２.若a>3，试判断方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的个数。解：设f（x）=x3-ax2+1，则f'（x）=3x2-2ax。当a>3，x∈［0，2］时f'（x）0，f（2）=9-4a故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一个根。三、求参数的范围例3.设函数f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3个相异实根，求实数a的取值范围。解:由题意有f'（x）=3x2-6则x∈（-∞，-）∪（）时，f（x）单调递增；x∈（-，+）时，f（x）单调递减。所以f（x）的极大值为f（-）=5+4，极小值为f=5-4。故f（x）恰有3个相异实根时，a∈（5-4，5+4）。四、利用导数求解函数的单调性问题例4.函数f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数m的取值范围。解：函数f（x）的导数f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1（1）当m-1≤1即m≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，不合题意。（2）当m-1>1即m>2时，函数f'（x）在（-∞，1）上为增函数，在（1，m-1）内为减函数，在（m-1，+∞）上为增函数。根据题意有：当x∈（1，4）时f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范围是［5，7］。五、利用导数求解函数的极值例5.已知函数（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值。解：f'（x）=3ax2+2bx-3由题意可知∵在x=±1时f'（x）=0，即3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），时f'（x）>0当x∈（-1，1）时，f'（x）所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函数，在（-1,1）为减函数。所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值。六、利用导数研究函数的图象例6.若函数y=f（x）在