导数的应用——利用导数证明不等式15则范文.docx

导数的应用——利用导数证明不等式15则范文

第一篇：导数的应用——利用导数证明不等式1导数的应用--------利用导数证明不等式教学目标：1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力；教学重点：利用导数证明不等式教学难点：利用导数证明不等式教学过程：一、复习回顾1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的极值、最值；二、新课引入引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性,出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解.因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题．下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用．三、新知探究1、利用导数得出函数单调性来证明不等式x2例1：当x>0时,求证：x＜ln(1+x).2x2x2'证明：设f(x)=x－ln(1+x)(x>0),则f(x)=．21x'∵x>0,∴f(x)0时,f(x)小结：把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的．随堂练习：课本P32：B组第一题第3小题2、利用导数解决不等式恒成立问题（掌握恒成立与最值的转化技巧；构造函数证明不等式）1例２．已知函数f(x)aexx22(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x解：(1)f′(x)＝aex－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e,∴a≥1/e,即a的取值范围是[1/e,+∞)1(2)记F(X)=f(x)－(1+x)=exx21x(x0)2则F′(x)=ex-1-x,令h(x)=F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1当x>0时,h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,又h(x)在x=0处连续,∴h(x)>h(0)=0即F′(x)>0,∴F(x)在(0,+∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x)(或mf(x))恒成立，于是，从而把不等式恒成立问题转化为m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值）求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．例3．（2004年全国）已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx(1)求函数f(x)的最大值；ab)(ba)ln2.2分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：(2)设0ab,证明：0g(a)g(b)2g（证明：对g(x)xlnx求导,则g'(x)lnx1.在g(a)g(b)2g(ab)中以b为主变元构造函数,22设F(x)g(a)g(x)2g(ax),则F'(x)g'(x)2[g(ax)]'lnxlnax.22当0xa时，F'(x)0,因此F(x)在(0,a)内为减函数.当xa时,F'(x)0,因此F(x)在(a,)上为增函数.从而当xa时,F(x)有极小值F(a).因为F(a)0,ba,所以F(b)0,即g(a)g(b)2g（2ab)0.2又设G(x)F(x)(xa)ln2.则G'(x)lnxlnaxln2lnxln(ax).当x0时,G'(x)0.因此G(x)在(0,)上为减函数.因为G(a)0,ba,