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导数的概念教学设计

第一篇：导数的概念教学设计《导数的概念》教学设计1.教学目标（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．（3）情感、态度与价值观目标：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．2.教学重、难点重点：导数的定义和利用定义如何计算导数．难点：对导数概念的理解．3.教学方法1.教法：引导式教学法在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．2.教学手段：多媒体辅助教学4.教学过程（一）情境引入导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。17世纪数学家遇到的三类问题：一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。CBCBAA图1光在平面上的反射图2光在球面上的反射二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。(二)探索新知问题1已知：匀加速直线运动方程为：s(t)v0t刻（t0[0,T]）的瞬时速度。问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为12at，t[0,T]，求：物体在t0时2v若tt0时平均速度的极限存在，则极限s(t)s(t0)tt0vlimtt0s(t)s(t0)tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。问题2已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限ktan为点M处的切线的斜率。导数的定义定义设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limxx0f(x)fx(0)（为割线MT的倾角）limxx0xx0f(x)f(x0）存在，则称函数xx0f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。即f'(x0)（2）也可记作yxx，of(x)fx(0）limxx0xx0dydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。dxxxof在x0处可导的等价定义：设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）x单侧导数的概念在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：定义设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限x0limf(x0x)f(x0）ylim（0x）xx0x存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f'(x0)。左导数f'(x0)ylim。x0x左、右导数统称为单侧导数。导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f'(x0)存在f'(x0)，f'(x0)都存在，且f'(x0)=f'(x0)。（三）知识巩固2例题1求f(x)x在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。解：由定义可得：yf(1