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导数在不等式证明中的应用

第一篇：导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用引言不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。其常用的证明方法有:比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。一、利用导数的定义证明不等式定义设函数ffx在点x0的某领域内有定义,若极限fxfx0存在limxx0xx0则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'x0令xx0x，yfx0xfx0，则上式可改写为fx0xfx0ylimf'x0x0xx0xlim所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比y的极限。这个增量比称为函x数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数f'x0则为f在x0处关于x的变化率。以下是导数的定义的两种等价形式：1（1）f'x0limxx0fxfx0xx0fxxfx0x（2）f'x0limx0例1:设fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，并且fxsinx，证明：r12r2nrn1证明fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，可得出f00，因为f'xr1cosx2r2cos2xnrncosnx,则f'0r12r2nrn又由导数的定义可知limx0fxf0fxfxlimlimx0x0x0xxsinx1xf'0limx0所以f'01，即可得r12r2nrn1.1221ylny，求证:y1,y2y2lny.232211分析令hyy2y2lny，y(1,)，因为h10,326例2、已知函数fy要证当x1时，hx0,即hxh10,只需证明hy在(1,)上是增函数。证明令hy22121yylny，则h'y2y2y，32y'2y3y21(y1)(2y2y1)因为当y1时,hy0，yy所以hy在(1,)上是增函数，就有hyh11210,y3y2lny0，632221即可得y1,y2y2lny.32注:证明方法为先找出x0，使得yf'x0恰为结论中不等式的一边；再利用导数的定义并结合已知条件去证明。二、利用微分中值定理证明不等式证题思路将要证的不等式改写成含变量之商不等式，则可尝试利用中值公式fbfaf'bafbfafbfa或的bagbgafbfaf'或者'gbgag并做适当的放缩到待证不等式中1.使用拉格朗日中值定理证明不等式定理若函数满足如下条件:(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得f'fbfaba例3、证明对一切h1,h0成立不等式hln1hh1h证明设fxln1x，则ln1hln1hln1当h0时，由01可推知11h1h，h，011hhhh1h1hhhh1h1h当1h0时，由01可推得11h1h0,从而得到所要证明的结论.注:利用拉格朗日中值定理的方法来证明不等式的关键是将所要证明的结论与已知条件归结为一个函数在某区间上的函数增量，然后利用中值定理转化为其导数的单调性等问题.2．使用柯西中值定理证明不等式定理设函数f和g满足(i)在[a,b]上都连续；(ii)在(a,b)内都可导；(iii)f'x和g'x不同时为零；(iv)gagb，f'fbfa则存在(a,b)，使得'g