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导数应用一例

第一篇：导数应用一例导数应用一例石志群13题：求一个正常数a，使得对于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。31333分析：x≤+ax等价于3ax-3x+1≥0.令f(x)=3ax-3x+1，则由对于|x|≤1的所有x，313都有x恒成立可知当｜x|≤1时，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在区间的端点取得，就是在极值点处取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，从而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。„„„„„„„„„„„„„„„„（1）33这个结果有何用呢？现在该考虑极值点了！2411，注意到≤a≤，所以∈[-1,1]，为极值333a3a3a11‘点，考虑f(x)在两侧的符号可知f(为最小值。3a3a1113由)＝3a·)－3·＋1≥0解得3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=‘214a„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2）34由（1）、（2）可知，a=.3从这个题目的思维过程我们可以得到哪些启示呢？一是函数思想在处理不等式问题中的作用不可忽视，本题就是以函数观点为突破口展开思维过程的。二是从简单情形开始，不断探索有效信息，并充分发挥所得到的信息的作用。本题中先从区间端点入手，对a的取值范围作初步控制，而这个控制为后续思维的展开提供了依据：它确定了极值点的位置，为对a作进一步的限制提供了可能。三是要学会运用等与不等的辩证关系从不等中构造相等关系。本题给出的全是不等式，不等之中怎么能找到确定a的值的等式呢？聪明的你一定会想到，肯定是由区间端点与极值点这些可能取得最值的点之间的制约关系，构造出需要的几个不等式，并用这样的不等式“夹”出a的值。第二篇：浅谈导数的几点应用浅谈导数的几点应用导数是解决数学问题的重要工具，很多数学问题如果利用导数探求思路，不仅能迅速找到解题的切入点，而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果。如在求曲线的切线方程、方程的根、处理函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。一、利用导数求曲线的切线方程例1.已知函数f（x）=x3-3x过点A（0，16）作切线，求此切线的方程。解：∵点A（0，16）不在曲线f（x）=x3-3x上∴可设切点为B（x0，y0），则y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）∴曲线f（x）=x3-3x在点B（x0，y0）处的切线方程为l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又点A（0，16）在l上∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）∴x03=-8，x0-2，切点B（-2，-2）所求切线方程为9x-y+16=0。二、讨论方程的根的情况例２.若a>3，试判断方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的个数。解：设f（x）=x3-ax2+1，则f'（x）=3x2-2ax。当a>3，x∈［0，2］时f'（x）0，f（2）=9-4a故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一个根。三、求参数的范围例3.设函数f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3个相异实根，求实数a的取值范围。解:由题意有f'（x）=3x2-6则x∈（-∞，-）∪（）时，f（x）单调递增；x∈（-，+）时，f（x）单调递减。所以f（x）的极大值为f（-）=5+4，极小值为f=5-4。故f（x）恰有3个相异实根时，a∈（5-4，5+4）。四、利用导数求解函数的单调性问题例4.函数f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数m的取值范围。解：函数f（x）的导数f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1（1）当m-1≤1即m≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，不合题意。（2）当m-1>1即m>2时，函数f'（x）在（-∞，1）上为增函数，在（1，m-1）内为减函数，在（m-1，+∞）上为增函数。根据题意有：当x∈（1，4）时f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范围是［5，7］。五、利用导数求解函数的极值例5.已知函数（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值。解：f'（x）=3ax2+2bx-3由题意可知∵在x=±1时f'（x）=0，即3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），时f'（x）>0当x∈（-1，1）时，f'（x）所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函数，在（-1,1）为减函数。