导数的应用4——构造函数证明数列不等式例题[大全5篇].docx

导数的应用4——构造函数证明数列不等式例题[大全5篇]

第一篇：导数的应用4——构造函数证明数列不等式例题导数的应用（四）——构造函数证明数列不等式例1（选讲或练习）：求证1111+++…+ln(1n)234n1例2．已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：①ln(x1)nx2在（2，+）上恒成立lnin(n1)(nN,n>1)(重点讲练)②i14i2反例3、设函数f(x)lnxpx1p0．（I）求函数f(x)的极值点，并判断其为极大点还是极小值点；ln22ln32lnn22n2n（II）证明：222(nN,n2).2(n1)23n（利用p=1时II的结论）．例4已知函数f(x)1lnx,(x1)x（１）试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；k恒成立，求实数k的取值范围；x12n2（３）求证：[(n1)!](n1)e,(nN).（２）若f(x)(阶乘本质是数列前n项积的问题，可先证两边取对数的式子，即化为前n项和的问题)例5（选讲）、已知函数f(x)=xln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若对任意的x[0,+),有f(x)kx成立,求实数k的最小值;(Ⅲ)证明例6（培优用）已知函数f(x)alnx1(a0).2n2i1ln(2n+1)*i=124；x1（2）若对x(1,e)，f(x)x恒成立，求实数a的取值范围；（1）当a1且x1时，证明：f(x)3n11（3）当a时，证明：f(i)2(n1n1)．2i2例7(培优)设f(x)的定义域为(0,),f(x)的导函数为f(x),且对任意正数x均有f(x)(Ⅰ)判断函数F(x)f(x)，xf(x)在(0,)上的单调性；x(Ⅱ)设x1，x2(0,)，比较f(x1)f(x2)与f(x1x2)的大小，并证明你的结论；*（Ⅲ）设x1，x2，xn(0,)，若n2，比较f(x1)f(x2)f(xn)与f(x1x2xn)的大小，并证明你的结论.例8(培优).已知函数f(x)是在(0,)上处处可导的函数,若xf'(x)f(x)在x0上恒成立.(I)求证：函数g(x)(II)当x1f(x)在(0,)上是增函数；x0,x20时,证明:f(x1)f(x2)f(x1x2)；(可否推广？)(III)构造函数证明1111n2222ln2ln3ln4ln(n1)(nN*).22222(n1)(n2)234(n1)巩固练习：1：求证2：求证ln2ln3ln4lnn1(n>1)234nn2ln2ln3ln4lnn(n>1)n(n1)3.先证明下面不等式，并构造相应数列不等式并加以证明:(1)ln(1x)x(x0)1x1x)x(x0)(2)ln(x1x)x(x0)第二篇：构造函数证明数列不等式构造函数证明数列不等式ln2ln3ln4ln3n5n6n3n(nN*).例1.求证：23436ln2ln3lnn2n2n1例2.求证:(1)2,(n2)2(n1)23n例3.求证:例4.求证:(1练习：1求证:(112)(123)[1n(n1)]e2.证明:3.已知a11,an1(14.已知函数f(x)是在(0,)上处处可导的函数,若x2n311111ln(n1)123n12n111111)(1)(1)e和(1)(1)(12n)98132!3!n!e.ln2ln3ln4lnnn(n1)(nN*,n1)345n14112)a.ae证明.nnn2n2nf'(x)f(x)在x0上恒成立.(I)求证：函数g(x)(II)当x1f(x)在(0,)上是增函数；x0,x20时,证明:f(x1)f(x2)f(x1x2)；(III)已知不等式ln(1x)x在x1且x0时恒成立。5.已知函数f(x)xlnx.若a0,b0,证明:f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).第三篇：构造函数,结合导数证明不等式构造函数,结合导数证明不等式摘要：运用导数法证明不等式首先要构建函数，以函数作为载体可以用移项作差，直接构造；合理变形，等价构造；分析（条件）结论，特征构造；定主略从，减元构造；挖掘隐含，联想构造等方法进行证明.关键词：构造函数；