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导数的概念教案

第一篇：导数的概念教案【教学课题】：§2.1导数的概念（第一课时）【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。【教学重点】：在一点处导数的定义。【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程】：一）导数的思想的历史回顾导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。二）两个来自物理学与几何学的问题的解决问题1（以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：s(t)12gt，t[0,T]，求：落体在t0时刻（t0[0,T]）的瞬时速度。2t0t问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为v若tt0时平均速度的极限存在，则极限s(t)s(t0)tt0vlimtt0s(t)s(t0)tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。问题2（以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限ktanf(x)fx(0)（为割线MT的倾角）limxx0xx0为点M处的切线的斜率。上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问题的解决都归结到求形如limxx0f(x)f(x0）（1）xx0的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。三）导数的定义定义设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限xx0limf(x)f(x0）xx0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。即f'(x0)limxx0f(x)f(x0）（2）xx0也可记作yxx，odydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。dxxxof在x0处可导的等价定义：设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）（3）f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）（4）xf'(x0)lim四）f(x0)f(x0）0（5）利用导数定义求导数的几个例子例1求f(x)x2在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。解由定义yf(1x)f(1)(1x)21f(1)limlimlimx0xx0x0xx'2xx2limlim(2x)2x0x0x于是曲线在(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1。例2设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。(x)f(x)f(x)证f(x)f又f(0)limlimx0'x0f(0x)f(0)f(x)f(0)limx0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)x0xxf(0)0注意：f'(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。此题的0为x。1xsin,x0x例3讨论函数f(x)在x0处的连续性，可导性。0,x0解首先讨论f(x)在x0处的连续性：limf(x)limxsinx0x010f(0)x即f(x)在x0处连续。再讨论f(x)在x0处的可导性：x0limf(0x)f(0)limx0xxsin101x此极限不存在limsin