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导数证明不等式构造函数法类别(学生版)

第一篇：导数证明不等式构造函数法类别(学生版)导数证明不等式构造函数法类别1、移项法构造函数1ln(x1)xx111，分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g(x)ln(x1)x1【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1从其导数入手即可证明。2、作差法构造函数证明【例2】已知函数f(x)图象的下方；分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方不等式f(x)g(x)问题，即只需证明在区间(1,)上，恒有122xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的23122xlnxx3，23122xlnxx3成立，设F(x)g(x)f(x)，x(1,)，考虑到23F(1)106要证不等式转化变为：当x1时，F(x)F(1)，这只要证明：g(x)在区间(1,)是增函数即可。3、换元法构造函数证明1111)23都成立.nnn1分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令x，则问题转化为：当x0时，恒n【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln(有ln(x1)xx成立，现构造函数h(x)xxln(x1)，求导即可达到证明。23324、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：af(a)>bf(b)5、主元法构造函数1x)x,g(x)xlnx例．（全国）已知函数f(x)ln((1)求函数f(x)的最大值；(2)设0ab,证明：0g(a)g(b)2g（6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例．已知函数f(x)aexab)(ba)ln2.212x2(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当x0时,(1x)11xe1x28.构造形似函数例：证明当bae,证明abba例：已知m、n都是正整数，且1mn,证明：(1m)n(1n)m【思维挑战】1、设a0,f(x)x1ln2x2alnx求证：当x1时，恒有xlnx2alnx12、已知定义在正实数集上的函数f(x)52122x2ax,g(x)3a2lnxb,其中a>0，且ba3alna，22求证：f(x)g(x)3、已知函数f(x)ln(1x)xb，求证：对任意的正数a、b，恒有lnalnb1.1xa4、f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)第二篇：导数证明不等式构造函数法类别(教师版)导数证明不等式构造函数法类别1、移项法构造函数1ln(x1)xx111，分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g(x)ln(x1)x1【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1从其导数入手即可证明。【解】f(x)1x1x1x1∴当1x0时，f(x)0，即f(x)在x(1,0)上为增函数当x0时，f(x)0，即f(x)在x(0,)上为减函数故函数f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0,)于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0，因此，当x1时，f(x)f(0)0，即ln(x1)x0∴ln(x1)x（右面得证），现证左面，令g(x)ln(x1)111x1，则g(x)22x1x1(x1)(x1)当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0，即g(x)在x(1,0)上为减函数，在x(0,)上为增函数，故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0，110x1111ln(x1)x∴ln(x1)1，综上可知，当x1时,有x1x1∴当x1时，g(x)g(0)0，即ln(x1)2、作差法构造函数证明【例2】已知函数f(x)图象的下方；分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方不等式f(x)g(x)问题，即只需证明在区间(1,)上，恒有122xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(