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巧用构造法解不等式问题

第一篇：巧用构造法解不等式问题巧用构造法解不等式问题湖州中学黄淑红数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的结构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。一、根据不等式特征，构造恰当的初等函数，再根据函数单调性、奇偶性等特征来证明不等式。例1证明：对于任意的x,y,z(0,1),不等式x(1y)y(1z)z(1x)1成立。证明设f(x)(1yz)xy(1z)z,显然该函数是以x为主元的一次函数。当x(0,1)时，f(x)是单调函数，且f(0)yyzz(y1)(1z)11,f(1)1yz1.所以，当x(0,1)时，f(x)的最大值小于1，即x(1y)y(1z)z(1x)1例2如果(xy1，那么xy0证明构造函数f(x)lg(x单调递增。(xxR).可以证明函数f(x)在R上是奇函数且y1,f(x)f(y)lg(xlg(ylg(xy=lg1=0f(x)f(y),即f(x)f(y)所以xy,即xy0通过构造函数，利用函数单调性和奇偶性，把一些看似与函数无缘的问题转化为函数问题来解决，思路灵活新颖，简洁巧妙，可出奇制胜。二、有些不等式分析可知它与数列有关，可构造出相应的数列，再利用数列的单调性来研究。n(n1)(n1)2例3证明不等式对所有正22整数n成立。分析：是一个与n无关的量，将它与左右两端作差构造出相应的数列，在利用数列的单调性来研究。解：设an3，1n)(N构)造数列xn，令xnann(n1)(n1)(n2)n(n1)(n1)0,，则xn1xnan1an222(nN)，所以xn1xn，xn为单调数列，首相x11为最小值。n(n1)(n1)2所以xnx110，即an，又令ynan，22(n1)2(n2)22n3则yn1ynan1an，222所以yn1yn，yn为单调递减数列，首相y12为最大项，(n1)2所以yny120，即an.2n(n1)(n1)2an(nN)综上所述，22用构造单调数列证明不等式，若不等式的一边为和（积）式，则构造数列an，使其通项等于和（积）式与另一端的差（商），然后通过比较法确定数列an的单调性，利用数列的单调性即可使不等式获证。三、对某些不等式，根据条件和结论，可将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等关系mnmn，使问题得到解决。a2b2c2abc例4已知a,b,cR，求证：a,b,cRbccaab2证明设mn，则22222abc(mn)(abc)2abcm2bccaab2(abc)2n利用向量虽是一种构造性的证明方法，但它与传统的综合法有很大不同，能避免繁杂的凑配技巧，使证明过程既直观又容易接受。四、有些不等式若采用通法解很繁琐，用变量替换法又不可行，利用数形结合的思想方法将抽象的式用形表示，则使问题中的各变量关系更具体明确，使问题简明直观。例51x2析本题若转化为不等式组来解很繁琐，利用数形结合的思想方法将抽象的式用形表示，则使问题变得简明直观解：令yy1x，2x，问题转化为它们对应的图象为半圆(x1)2y21(y0)与直线y(x1)2y21(y0)的图象在y1x上方时x的范围，如图218x得x025故原不等式的解为：x0x85五、一类属函数图象的问题，与求最值结合，利用数形结合是基本的指导思想，但还需结合复合函数求导，使不等式的证明水到渠成。例6如图，设曲线yex(x0)在点M(t,et)处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S(t)，求（1）切线l的方程；2）求证S(t)2et（1）解：f'(x)(ex)'ex，切线l的斜率为e故切线l的方程为yetet(xt)，即etxyet(t1)0（2）证明：令y0得xt1，又令x0得ye(t1)，tS(t)11(t1)et(t1)(t1)2et221t'从而S(t)e(1t)(1t).2当t(0,1)时,S'(t)0,当t(1,)时,S'(t)0,S(t)的最大值为S(1)22，即S(t)ee应用导数