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巧用构造法证明不等式

第一篇：巧用构造法证明不等式巧用构造法证明不等式构造法是指在解决数学问题的过程中，为了完成由条件向结论的转化，通过构造辅助元素，架起一座沟通条件和结论的桥梁，从而使问题得到解决。不等式证明是高中数学的一个难点问题，若能巧用构造方法，可以使一些问题化难为易.本文拟用构造法巧证一些不等式问题，仅供参考.一、构造函数证明不等式若能根据题中条件的特征，巧妙地构造函数，利用函数的图象和性质来证明不等式.例1（2011年安徽高考理科题）（Ⅰ）设x1,y1，证明111xyxy，xyxy（Ⅱ）1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.解：∵x1，y1，所以要证明原不等式成立，则只需证xy(xy)1yx(xy)2成立.令f(x)yx(xy)2[xy(xy)1](y2y)x2(1y2)xy1当y1时，则f(x)0，即xy(xy)1yx(xy)2，所以111xyxyxyxy111(,1).函数当y1时，二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴x22y2f(x)在[1,)上单调递增，所以f(x)f(1)y2y1y2y10所以111xyxyxyxy综上，所证明的原不等式成立.（Ⅱ）证明略.二、构造方程证明不等式由解不等式的经验知，不等式的解的区间的端点就是相应方程的解，所以可以利用方程与不等式的内在联系，构造方程来证明不等式.例2设实数a,b,c满足a2bc8a7022bcbc6a60求证：1a9.bca28a7证明：由已知得，故可构造关于x的方程：bc(a1)x2(a1)xa28a70所以[(a1)]24(a28a7)0，即a210a90，所以1a9.三、构造三角形证明不等式若能根据不等式的特征，构造出与不等式相同的几何背景的三角形，通过三角形的性质和几何特征来证明不等式.例3设a,b,c为正实数，求证：a2abb2b2bcc2c2caa2(abc)证明：由于a2abb2下图所示.Aa2b22abcos1200，构造三角形ABC，如DB使ACb,BCa,ACB1200，则ABa2abb2.作ACB的角平分线交AB于D.令ADC，则ADbBDaa，.sin600sinsin600sin(1800)sin33ba(ab)所以AB，BD.由此可得ABADDB.sinsinsin∵01，所以AB，所以0sin3(ab)，即2a2abb2同理：b2bcc2(ab)①.23(cb)②2(ca)③2c2caa2由①②③得a2abb2b2bcc2c2caa2(abc).四、构造几何体证明不等式若要证明的不等式与几何体中一些线段的长度有某种内在的关系，可通过构造几何体来证明不等式.例4已知a,b,c均为正数，且a2b2c21.证明：a2b2c23(abc)证明：由a2b2c21，可发现此式与长方体的对角线长的公式有一定联系.故可构造长方体，使其长宽高分别为a,b,c，且AC11.Ac1A1D1而AB1b2c2a2.在AB1C1中，有AB1B1C1AC1，即a2a1①同理有b2b1②c2c1③由①②③得a2b2c23(abc).用构造法证明不等式是一种非常重要的解题方法.运用此方法的关键在于“构造”，可以根据所要证明的不等式的结构特征，合理运用类比、联想等方法，构造出“辅助元素”，使所要证明的不等式化难为易，从而解决问题。第二篇：巧用构造函数法证明不等式构造函数法证明不等式一、构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式【例1】证明不等式：|a||b||ab|1|a||b|≥1|ab|证明：构造函数f(x)=x1x(x≥0)则f(x)=x1x=1-11x在0，上单调递增∵f(|a|+|b|)=|a||b|1|a||b|f(|a+b|)=|ab|1|ab|且|a|+|b|≥|a+b|∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|)即所证不等式正确。二、利用分式函数的奇偶性证明不等式【例2】证明不等式：x12x＜x2（x≠0）证明：构造函数f(x)=x12xx2(x0)∵f(-x)=-xx-x2x1-2-x22x1x2x12x[1-(1-2x)]x2x12xx2=f(x)∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。当x＞0