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幂数列求和公式的推导及证明5篇

第一篇：幂数列求和公式的推导及证明幂数列求和公式的推导及证明我们把诸如“1k，2k，……，nk（k为自然数）”之类的数列叫做幂数列。如1，2，……，n；12，22，……，n2；13，23，……，n3；14，24，……，n4等。下面几个公式经数学归纳法证明是正确的：n(n+1)n2+n=1+2+……+n=，2232n(n+1)(2n+1)2n+3n+n222+n==1+2+……，66432n(n+1)n+2n+n3]2=13+23+……+n=[，245436n+15n+10n-n444+n=1+2+……，3065422n+6n+5n-n515+25+……+n=，1276536n+21n+21n-7n+n661+2+……+n=，426876423n+12n+14n-7n+2n717+27+……+n=，249875310n+45n+60n-42n+20n-3n881+2+……+n=，90810986422n+10n+15n-14n+10n-3n919+29+……+n=，206n11+33n10+55n9-66n7+66n5-33n3+5n1+2+……+n=。66101010我们把这几个公式叫做幂数列前n项和公式，其中前三个已出现在高中课本上。出人意料的是，这些公式并不随着幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。这些公式是怎样推导出来的呢？下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。我们先看一个展开式:n(n+1)(n+2)(n+3)=n4+6n3+11n2+6n,由这个展开式可得n4=n(n+1)(n+2)(n+3)-6n3-11n2-6n。取n=1，则14=1234-6-11-6，取n=2，则24=2345-623-1122-62，……这些等式两端分别相加得34+2345+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]-6(13+23+14+24+……+n4=[12……+n3)-11(12+22+……+n2)-6(1+2+……+n)为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算101102103的值。式子1234+2345+3456+……+100按常规算法，这300次乘法计算和99次加法计算即使使用计算器恐怕1小时之内很难完成任务。若各项都乘5，得12345+23455+34565+……+1001011021035，这样前两项相加得23456,再加第三项得34567，依此类推，加到最后一项，101102103104，故得数应是1001234+2345+3456+……+1001011021031=（100101102103104），由此猜想51234+2345+3456+……+n(n+1)(n+2)(n+3)1=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)，5所以234+2345+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]14+24+……+n4=[1322-6(13+23+……+n)-11(1+2+……+n2)-6(1+2+……+n)，1其中方括号里边的值为n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),再把1，2，35次幂数列求和公式分别代入上式并化简，得5436n+15n+10n-n441+2+……+n=。304这个公式的正确性可用数学归纳法来证明，证明过程如下:6+15+10-1=1，公式显然成立；假设n=k时公式取n=1，则306k5+15k4+10k3-k也成立，即1+2+……+k=，则n=k+1时有304445436k+15k+10k-k444+(k+1)4=1+2+……+(k+1)=306k5+45k4+120k3+15k2+119k+30，而306(k+1)5+15(k+1)4+10(k+1)3+(k+1)6k5+45k4+120k3+15k2+119k+30=，30306k5+15k4+10k3-k6k5+45k4+120k3+15k2+119k+304+(k+1)=所以。这3030就证明了当n=k+1时公式也成立。通过以上证明可知，n取任35436n+15n+10n-n444+n=何自然数公式1+2+……都成立。30用类似的方法可以分别推导出5至10次幂数列求和公式，并可仿照上面的方法证明。至于11次及11次以上的幂数列求和公式,相信你在读完本文后也一定能推导和证明的。第二篇：数列求和公式证明1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边数学归纳法可以证也可以如下做比较有技巧性n^2=n(