常微分方程答案 第三章.docx

常微分方程答案第三章

第一篇：常微分方程答案第三章习题3.11.求方程dyxy2通过点(0,0)的第三次近似解。dx解：fx,yxy2，令0(x)y00，则1xy0fx,0xdxxdxx00xx12x22xy0fx,1xdxx0xx0121215xxdxxx22023xy0fx,2xdxx0xx012152121518111xxxxxdxxx2022016044002为所求的第三次近似解。3.求初值问题dy22xy,R:x11,y1,(1)dxy10的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。解：因为fx,yx2y2，ab1，Mmaxfx,y4，所以x,yR153b1hmina，从而解得存在区间为x1，即x。444M4又因为fx,yx2y2在R上连续，且由fy2y2L可得fx,y在R上关于y满足Lipschitz条件，所以Cauchy问题(1)在53x有唯一解44yx。令0(x)y00，则1xy0fx,0xdxx2dxx01xx13x132xy0xx0221311xx3x4x7fx,1xdxxx1dx1429318633xMLh1误差为：2xxL21!2410.给定积分方程xfxKx,d(*)ab其中fx是a,b上的已知连续函数，Kx,是axb，ab上的已知连续函数。证明当足够小时(是常数)，(*)在a,b上存在唯一的连续解。证明：分四个步骤来证明。㈠.构造逐步逼近函数序列0xfxn1xfxKx,nd,n0,1,2,ab由fx是a,b上的连续函数可得0x在a,b上连续，故再由Kx,是axb，ab上的连续函数可得1x在a,b上连续，由数学归纳法易证nx在a,b上连续。㈡.证明函数列nx在a,b上一致收敛。考虑级数0xkxk1x,k1xa,b(2)由0xkxk1xnxk1n知，nx的一致收敛性与级数(2)的一致收敛性等价。令Mmaxfx，LbamaxKx,。由(2)有axbaxb,ab1x0xKx,fdabKx,fdabmaxKx,maxfaxb,ababbadML所以2x1xKx,10dabKx,10dabMLKx,dML2ab假设对正整数n，有不等式nxn1xMLn,则bxa,b(3)n1xnxKx,nn1daKx,nn1dabxa,bMLn1Kx,dMLn,ab所以(3)对任意正整数n都成立。因为MLn为正项级数，且当足够小时，n1LbamaxKx,1(4)axb,ab故ML收敛，从而由Weierstrass判别法，级数kxk1x一致收敛，nn1k1故级数(2)一致收敛，所以函数列nx在a,b上一致收敛。㈢.证明limnxx是积分方程(*)在a,b上的连续解。n因为由㈠和㈡可得nx在a,b上连续，nx在a,b上一致收敛，故x在a,b上连续，且函数列Kx,nx在a,b上一致收敛，所以对n1xfxKx,ndab两边取极限可得limn1xfxlimKx,ndnnabbfxKx,limndan从而xfxKx,dab所以x是积分方程(*)在a,b上的连续解。㈣.证明x是积分方程(*)在a,b上的唯一解。设x是积分方程(*)在a,b上的另一连续解，则