常微分方程定性与稳定性方法试卷（★）.docx

常微分方程定性与稳定性方法试卷（★）

第一篇：常微分方程定性与稳定性方法试卷常微分方程定性与稳定性方法试卷2x1dx12x2,22dt(1x1)1.（20分）讨论系统dx零解的稳定性。2x2x2122222dt(1x)(1x11)d2xdxdx22mb()xx0,mb0对2.（20分）证明振动方程2dtdtdt任何参数都不存在闭轨线和奇异闭轨线。dx2xyP(x,y),dt3.（20分）设有系统dy试分析其轨线1yx2y2Q(x,y).dt的全局结构。01104.（20分）设A=002000dx00Ax,x(0)x0的解，，求初值问题dt0110并分析其奇点邻域内轨线的性态。dx3yxx,dt5.（20分）讨论系统dy奇点(0,0)邻域内极限环的xy3dt分支问题。第二篇：常微分方程实验报告一吕梁学院数学系《常微分方程》实验报告《常微分方程》实验报告一专业班级姓名学号实验地点实验时间实验名称：向量场、积分曲线作图实验目的：熟悉实验内容：Matlab软件；掌握画向量场、积分曲线的命令。（给出实验程序与运行结果）吕梁学院数学系《常微分方程》实验报告实验分析：第三篇：常微分方程答案第三章习题3.11.求方程dyxy2通过点(0,0)的第三次近似解。dx解：fx,yxy2，令0(x)y00，则1xy0fx,0xdxxdxx00xx12x22xy0fx,1xdxx0xx0121215xxdxxx22023xy0fx,2xdxx0xx012152121518111xxxxxdxxx2022016044002为所求的第三次近似解。3.求初值问题dy22xy,R:x11,y1,(1)dxy10的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。解：因为fx,yx2y2，ab1，Mmaxfx,y4，所以x,yR153b1hmina，从而解得存在区间为x1，即x。444M4又因为fx,yx2y2在R上连续，且由fy2y2L可得fx,y在R上关于y满足Lipschitz条件，所以Cauchy问题(1)在53x有唯一解44yx。令0(x)y00，则1xy0fx,0xdxx2dxx01xx13x132xy0xx0221311xx3x4x7fx,1xdxxx1dx1429318633xMLh1误差为：2xxL21!2410.给定积分方程xfxKx,d(*)ab其中fx是a,b上的已知连续函数，Kx,是axb，ab上的已知连续函数。证明当足够小时(是常数)，(*)在a,b上存在唯一的连续解。证明：分四个步骤来证明。㈠.构造逐步逼近函数序列0xfxn1xfxKx,nd,n0,1,2,ab由fx是a,b上的连续函数可得0x在a,b上连续，故再由Kx,是axb，ab上的连续函数可得1x在a,b上连续，由数学归纳法易证nx在a,b上连续。㈡.证明函数列nx在a,b上一致收敛。考虑级数0xkxk1x,k1xa,b(2)由0xkxk1xnxk1n知，nx的一致收敛性与级数(2)的一致收敛性等价。令Mmaxfx，LbamaxKx,。由(2)有axbaxb,ab1x0xKx,fdabKx,fdabmaxKx,maxfaxb,ababbadML所以2x1xKx,10dabKx,10dabMLKx,dML2ab假设对正整数n，有不等式nxn1xMLn,则bxa,b(3)n1xnxKx,nn1daKx,nn1