平面几何常用证明方法5则范文.docx

平面几何常用证明方法5则范文

第一篇：平面几何常用证明方法平面几何常见证明方法1,分析法分析法是从命题的结论入手，先承认它是正确的，执果索因，寻求结论正确的条件，这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程。分析法主要应用与的几何问题特点主要是：从证明推理的时候出现多个方向，不知道哪个方向能够成功推导到结论，也就是说从正向推导比较迷茫的时候，比较适合用分析法来解决这些问题。例1如图2.1.1，四边形ABCD的一条对角线BD平行于两对边之交点的连线EF，求证：AC平分BD。[1]证明：设AC交BD于M，交EF于NBMMD，欲证BMMDENNF作方向猜测，只需证ENNF或BMEN1即可。MDNF则但我们意识到这不容易证明，（图2.1.1）BMMDBMEN即可。而，从而MDBMMDNFMDENMDBMMDMCBM只需证即可，又只需证即可。而，故得证。BMNFENNFENCNNF再作方向猜测，欲证BMMD，只需证明2综合法综合法则是由命题的题设条件入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论。再从已知条件着手，根据已知的定义、公式、定理，逐步推导出结论。综合法和分析法有些不同的是分析法的思路从结论开始，综合法的思路从题设开始。例2如图2.2.1设D是ABC底边BC上任一点，则ADBCABCDACBDBCBDCD。[1]证明：在ADB和ABC中222AD2BD2ABcosADB2ADBDAD2CD2AC2cosADC2ADBD由cosADBcosADC，所以(图2.2.1)AD2BD2AB2AD2CD2AC22ADBD2ADBD有AD2(BDCD)AB2CDAC2BDBDCD(BDCD)将BDCDBC代入上式则有ADBCABCDACBDBCBDCD，证毕。在具体证题时，这两种方法可单独运用，也可配合运用，在分析中有综合，在综合中有分析，以进行交叉使用。由于篇幅有限在此仅归纳方法，并不做详细介绍。但是有些命题往往不易甚至不能直接证明，这时，不妨证明它的等效命题，以间接地达到目标，这种证题思路就称为间接式思路。我们常运用的反证法是一种典型的用间接式思路证题的方法。2223反证法具体地说，在证明一个命题时，如正面不易入手，就要从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，如果由此假设进行严格推理，推导出的结果与已知条件、公式、定理、定义、假设等的其中一个相矛盾，或者推出两个相互矛盾的结果，就证明了“结论反面成立”的假设是错误的，从而得出结论的正面成立，这种证题方法就叫做反证法。当结论的反面只有一个时，否定了这一个便完成证明，这种较单纯的反证法又叫做归谬法;而当结论的反面有若干个时，就必须驳倒其中的每一个，这种较繁琐的反证法又称为穷举法。反证法证题通常有如下三个步骤:(1)反设。作出与结论相反的假设，通常称这种假设为反证假设。(2)归谬。利用反证假设和已知条件，进行符合逻辑的推理，推出与某个已知条件、公理、定义等相矛盾的结果。根据矛盾律，在推理和论证的过程中，在同时间、同关系下，不能对同一对象作出两个相反的论断，可知反证假设不成立。(3)得出结论。根据排除率，即在同一论证过程中，命题C与命题非C有且仅有一个是正确的，可知原结论成立。例3如图2.3.1已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，1(ABCD)。2求证：AD∥BC且MN证明：假设AD与BC不平行，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。在ABD中由BMMA，BPPD（图2.3.1）则MP1AD，同理可证PN2MPPN1BC21(ABCD)①从而这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD与BC不平行矛盾，于是M、P、N三点不共线。从而MPPNMN②11由①、②得MN(ABCD)，这与已知条件MN(ABCD)相矛盾，22故假设不成立，所以AD∥BC，证毕。在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。例4过平面上的点A的直线a，求证：a是唯一的。证明：假设a不是唯一的，则过A至少还有一条直线b，b由a、b是相交直线，则a、b可以确定一个平面。设和相交于过点A的直线c。由a，b，有ac，bc。这样在平面内，过点A就有两条直线垂直于c，这与定理产生矛盾。所以，a是唯一的，证毕。关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。另外，几何中有一类问题，