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平面向量基本定理及相关练习(含答案)

第一篇：平面向量基本定理及相关练习(含答案)平面向量2预习：1.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a和b，作OAa,OBb，则AOB(0)叫做向量a和b的夹角。（1）0时，a和b同向；（2）时，a和b反向；（3）时，ab；2（4）注意两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围是0。2.两向量共线的判定设a(x1,y1),b(x2,y2)，其中b0。3.我们都学过向量有关的哪些运算？4.力做的功：W|F||s|cos,是F与s的夹角。讲授新课：1.平面向量的数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a和b，他们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（内积）。记为：ab，即ab|a||b|cos规定：零向量与任一向量的数量积为0，即a00。2.投影的概念：|b|cos叫做b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量。3.向量数量积（内积）的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。4.两个向量数量积的性质：设a、b为两个非零向量（1）abab=0（2）当a和b同向时，ab=|a||b|当a和b反向时，ab=-|a||b|1特别地，aa|a|2或|a|aa（3）|ab||a||b|（4）cosab|a||b|（5）平面向量数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数，则①ab=ba（交换律）②(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)③(ab)cacbc(分配律)5.平面两向量数量积的坐标表示：已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)两个向量数量积等于他们对应坐标的乘积的和，即abx1y1x2y2。6.平面内两点间的距离公式：（1）设a(x,y),则|a|2x2y2或|a|x2y2；（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终边的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，|a|(x21x2)2(y1y2)（平面间两点的距离公式）。7.向量垂直的判定：设a(x1,y1)，b(x2,y2)则abx1x2y1y208.两向量夹角的余弦：（0）cosab1x2y1y2|a||b|=xx2y22211x2y2例1.已知A(1,2),B(2,3),C(2,5),试判断ABC的形状，并给出证明。那么：例2.在ABC中，AB(2,3),AC(1,k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值。例3.已知a(1,3),b(31,31)，则a与b的夹角是多少？求与a垂直的单位向量的坐标是多少？1例4.已知A(3,2),B(1,1),若点P(x,)在线段AB的中垂线上，则x2例5、已知a(2,1),b(m,m1),若a与b的夹角为锐角，求实数m的取值范围。同步练习：331、已知a3,b4,向量ab与ab的位置关系为（）44A．平行B．垂直C．夹角为D．不平行也不垂直32、在ABC中，AB(1,1),AC(2,k)，若ABC为直角三角形，求实数k的值。3、已知a1,b2,(1)若a∥b,求ab；(2)若a与b的夹角为60°，求ab；(3)若ab与a垂3直，求a与b的夹角．4、已知a1,b2,(ab)a，则a与b的夹角是3b)(4a33b),(2a3b)(a5、已知(a3b),a0,b0，求a与b的夹角。6、已知四边形ABCD中AB=(6,1),BC=(x,y)，CD=(-2,-3),(1)若BC∥DA,试探究x与y间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有AC⊥BD,试求x,y的值及四边形ABCD的面积.答案：1.B2.（-2或0）3.4.45度5.(arccos66)6.（1）x2y0（2）16第二篇：平面向量基本定理教案§2.3.1平面向量基本定理教学设计教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ2．运算定律结合律：λ(μa)=(λμ)a；