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弦切角的逆定理的证明

第一篇：弦切角的逆定理的证明弦切角逆定理证明已知角CAE=角ABC，求证AE是圆O的切线证明：连接AO并延长交圆O于D，连接CD，则角ADC=角ABC=角CAE而AD是直径，因此角ACD=90度，所以角DAC=90度-角ADC=90度-角CAE所以角DAE=角DAC+角CAE=90度故AE为切线第二篇：怎样证明弦切角怎样证明弦切角设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)∵∠BOC=2∠CAB∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)2接OBOC过O做OE⊥BC所以∠A=1/2又因为∠OCT=90°∠OEC=90°所以∠EOC=∠TCB所以∠TCB=∠A3温馨提示设切点为A切线AB弦AC圆心为O过A作直径AD连OC角CAB等于90度减角DAC因为OA等于OC所以角AOC等于180度减去二倍的角DAC即可证明角AOC等于二倍的角CAB参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半4线段AD与线段EF互相垂直平分。证明:设AD交EF于点G.因为Ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pAC=∠B，又因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，从而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD，∠B+∠BAD=∠pDA，所以∠pAD=∠pDA，则△pAD为等腰三角形，因pM平分∠ApD，所以pM垂直平分AD，则EF垂直平分AD，从而AD垂直EF，则∠AGE=∠AGF=90°，再由∠GAF=∠GAE，得到△EAG≌△FAG，从而EG=FG，从而AD也垂直平分EF。5(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC第三篇：弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法(1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。连接OA、OC、BC，则有∠ACD+∠ACO=90°=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。2证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA