微分几何教案 第七讲.docx

微分几何教案第七讲

第一篇：微分几何教案第七讲具体如下：取M上的向量场X，对给定的xM,有*(x)T于是X(x)TxM，xM为关于X的齐次线性函数，有(X)(x)(x)X(x),xM.对f,gC(M)和X,YX(M),有(fXgY)f(X)g(Y).下面设1,,pT*M（即1-形式），X1,,XP为M上的向量场。d(1p)(X1,,Xp)(p)(1)S()1(Xi1)p(XS()(i1ip)(1)1(Xi1)p(Xip)det(i(Xj))，其中(p)是1,2,,p的置换群，即Sp,{i1,,ip}(p),S()是的逆序数。一般地，设i1ipai1ipi1ipi1ip(X1,,Xp)ai1ipi1ip(X1,,Xp).1并且，设和分别为M上的p形式和q形式，则()(X1,,Xpq)(1)S()(X(pq)i1,,Xip)(Xip1，设U,U是M上x处的两个坐标邻域，它们的局部坐标分别为xi和xj。设M上的p形式(x)在这两个局部坐标系中分别表示为(x)aiip1ip(x)dxi1dxii1pbjjp1jp(x)dxjj1dxj1p.则有坐标变换公式：b(xi1,,xip)j1jp(x)(xaii1ip1ip(x).j1,,xjp)三、外微分对流形M上的0-形式f（即函数fC(M)），由函数的微分，有df(x)nfdxi1xi，i2Xipq,为M上的1-形式，上式表明，“d”是F0(M)到F1(M)的映射。下面将“d”推广为Fp(M)到Fp1(M)的映射。df定义：设U为流形M上含x的坐标邻域，局部坐标为xi。如果M上的p形式在U中写成(x)iai1ip(x)dxi1dx1ip则定义外微分如下：dd(x)dxidai1ipi1dxip1ipani1ip(x)i1ipj1xdxjdxij1d:Fp(M)Fp1(M)d性质：①对,Fp(M),1,2R有d(12)1d2d.②对Fp(M),Fq(M),有d()d(1)pd.ip，dxip.r③dd0,即F(M),都有d(d)0.③当pn时，对Fp(M),必有d0.例考虑R3，取它的直角坐标系(x,y,z),则R3上所有微分形式为0形式：0f(x,y,z),fC(R3).1形式：1adxbdycdz,a,b,cC(R3).2形式：2adydzbdzdxcdxdy,a,b,cC3形式：3adxdydz,aC(R3).分别求它们的外微分。庞卡莱引理及逆命题定义：设M是n维微分流形，Fp(M)。如果d0,则称为闭微分形式（简称闭形式）。如果存在Fp1(M)使得d,则称为恰当微分形式（简称恰当形式）。显然有(R3).定理（Poincare引理）设是M上的p形式且是恰当的，则必是闭形式。定理（Poincare引理的逆命题）是U上的p形设开集UM可收缩为一点，式，若是闭的，则是恰当的。对偶映射定义：设M,N分别为m维和n维微分流形，F:MN是C映射。定义映射F*:FP(N)FP(M),(0pn)F()*使得对任何xM,X1,,XpTxM有(F*())(x)X1,,XP(F(x))F*(x)X1,,F*(x)XP其中F*即dF，是F的微分。F*称为映射F*的对偶映射。性质：⑴F*是线性的，即对1,2FP(N)，有F*(1122)1F*(1)2F*(2).⑵对,Fp(N),有F*()F*()F*().⑶dF*F*d，即对Fp(N)有d(F*)F*(d).⑷若F:MN,G:NP是C的，则(GF)*F*G*.局部地，设(U,)和(V,)分别为M和N上包含x和yF(x)的坐标图，F(U)V,局部坐标分别为xi和yj。如果设(y)ai1ip(y)dyi1dyip，i1ip则F()(x)ai1ip(F(x))*i1ipj1jpdxj1dxjp.(xj1,,xjp)(yi1,,yip)§5.8流形上的积分一、体积元与可定