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怎样证明根号2是一个无理数（5篇）

第一篇：怎样证明根号2是一个无理数怎样证明2是一个无理数第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的2是一个非常著名的无理数，代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=a.b其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a22b2.由于完全平方数b2的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2b2的尾数只能是0、2、8中的一个.因为a22b2，所以a2与2b2的尾数都是0，因此b2的尾数只能是0或5，因此a与b有公因数5，与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.a证法2：奇偶分析法.假设2=.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a22b2.可知ab是偶数，设a=2c,则4c22b2，b22c2，可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到a22b2，易见b>1，否则b=1，则2=a是一个整数,这是不行aaa.因为b>1，因此b有素因子p，因此p整除或a，总之，p整除22a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾.的.a22b2改写成b2证法4：仿上，得到a22b2，等式变形为b2a2b2(ab)(ab)，因为b>1，因此存在素因子p，p整除a+b或a-b之一，则同时整除a+b与a-b，因此p整除a，因此p是a、b的公因数，与(a,b)=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此ap11p22pmm，bq11q22qnn，其中p1,,pm与q1,,qn都是素数，r1,,rm与s1,sn都是正整数，因此p11p22r2r2rrrssspm2rm=2q11q22s2s2qn2sn，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.aa证法6：假设2=，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a是最小的正bb整数分子，在a22b2的两边减去ab有a2ab2b2ab，a(ab)b(2ba)，即2a2ba，右边的分子2b-a证法7：连分数法.因为(21)(21)=1，因此2112112112，1211221，将分母中的2用1代替，有21，不断重复这个过程，得2=1122112，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明a22b2没有正整数解。若不然，可以b、a为边构造正方形(b第二篇：怎样证明一个四边形是梯形怎样证明一个四边形是梯形？答：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，梯形的定义明确指出，作为一种特殊四边形的梯形，必须具备两个条件，即“一组对边平行”和“另一组对边不平行”，因此判定一个四边形是否是梯形，也必须以是否满足这两个条件为依据，二者缺一不可．证明两线平行的方法比较多，难点是如何判定两线不平行．【例1】已知：如图1在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别为AO、BO、CO、DO的中点．求证：四边形A′B′C′D′是梯形．分析一：由A′、D′分别是AD、DO的中点，易知A′D′∥AD．由B′、C′分别是BO、CO的中点，易知B′C′∥BC．又AD∥BC，∴A′D′∥B′C′，由A′、B′分别是AO、BO的中点，得A′B′∥AB，由C′、D′分别是CO、DO的中点，得C′D′∥CD，又AB与CD不平行，∴A′B′与C′D′也不平行．综上所述，四边形A′B′C′D是梯形．分析二：本题还可以通过证明A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′来判定四边形A′B′C′D′是梯形，即由A′、D′分别为AO、DO的中点，得由B′，C′分别为BO、CO的中点，得∵AD∥BC且AD≠BC，∴A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′，∴四边形A′B′C′D′是梯形．证明：略．从以上分析中不难看出，证明一个