抽屉原理最新精编.docx

抽屉原理

第一篇：抽屉原理抽屉原理（1）抽屉原则（1）如果把n+k(k大于等于1)件东西放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。学习例题例1．某次联欢会有100人参加，每人在这个联欢会上至少有一个朋友，那么这100人中，至少有几个人的朋友个数相同？例2．在长度为2米的线段上任意点11个点，至少有2个点之间的距离不大于20厘米。为什么？例3．任意4个自然数，其中至少有2个数的差是3的倍数，这是为什么？例4．任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是5的倍数？例5．从1～100的自然数中，任意52个数，其中必有2个数的和为102；为什么？2．口袋里放有足够多的红球、黄球、蓝球，每个小朋友任意选择两种颜色的小球各1个，那么至少有多少个小朋友才能保证有两人选出的小球是相同的？3．从25、26、27、28、…、44这20个数中任取11个不同的数，其中至少有两个数的差为10，请说明为什么？4．在100米的路段上植树，至少需要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？5．从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52。这是因为：8．从1、2、3、4、…，10这10个数中，任取多少个数，可以保证在这些数中一定能找到两个数，使其中一个数是另一个数的倍数？课后作业：1.从1～100的所有奇数中，任意27个不同的数，其中必有两个数的和等于102，请说明理由。2.某小学学生的年龄最大为13岁，最小为6岁，至多需要从中挑选多少个同学，就一定能使挑选出的同学中有两位同学的岁数相同？3.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？4.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个同学从中任意借两本。那么，至少多少个学生中一定有两个人所借图书的种类相同？5.从1、2、3、…，12这12个数中，任意取出7个数，其中差等于6的数至少有多少对？第二篇：抽屉原理抽屉原理把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。例1从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：（1）有2个数互质；（2）有2个数的差为50；（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。证明：（1）将100个数分成50组：{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。（2）将100个数分成50组：{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。例2求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。得到500个余数r1，r2，…，r500。由于余数只能取0，1，2，…，499这499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。例3在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。分析：注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。解：将礼堂中的99人记为a1，a2，…，a99，将99人分为3组：（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），将3组学生作为3个抽屉，分别记为A，B，C，并约定A中的学生所认识的66人只在B，C中，同时，B，C中的学生所认识的66人也只在A，C和A，B中