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放缩法证明数列不等式经典例题

第一篇：放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式主要放缩技能：1.11111112nn1n(n1)nn(n1)n1n1144112()22n4n1(2n1)(2n1)2n12n1n242.2)4.2n2n2n1115.n(21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n16.n22(n1)n11n(n1)2n1n(n1)2n1n2n(n1)2n1x2xn*c(nN)例1.设函数y的最小值为，最大值为，且abnnn2x1（1）求cn；（2）证明：例2.证明：161例3.已知正项数列an的前n项的和为sn，且an2（1）求证：数列sn是等差数列；11117444c14c2c3cn41712sn，nN*；an（2）解关于数列n的不等式：an1(sn1sn)4n8（3）记bn2sn,Tn331111Tn，证明：12b1b2b3bn例4.已知数列an满足：n2anan1；是公差为1的等差数列，且an1nn（1）求an；（22例5.在数列an中，已知a12,an1an2anan1；（1）求an；（2）证明：a1(a11)a2(a21)a3(a31)an(an1)32n1an例6.数列an满足：a12,an1；n(n)an225112n（1）设bn，求bn；（2）记cn，求证：c1c2c3cn162n(n1)an1an例7.已知正项数列an的前n项的和为sn满足：sn1,6sn(an1)(an2)；（1）求an；（2）设数列bn满足an(2n1)1,并记Tnb1b2b3bn，b求证：3Tn1log2n(a3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）例8.已知正项数列an满足：a11,nan1(n1)an1，anan1记b1a1,bnn[a1（1）求an；（2）证明：(12111](n2)。222a2a3an11111)(1)(1)(1)4b1b2b3bn4第二篇：放缩法证明数列不等式放缩法证明数列不等式基础知识回顾:放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：①等差数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的一次函数或常值函数）②等比数列求和公式：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（关于错误！未找到引用源。的指数类函数）③错位相减：通项公式为“等差错误！未找到引用源。等比”的形式④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。④若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：①裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）②等比数列：所面对的问题通常为“错误！未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误！未找到引用源。，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，常数可视为错误！未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误！未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误！未找到引用源。，公比为错误！未找到引用源。，即通项公式为错误！未找到引用源。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题：①此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递