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数值分析第五章学习小结

第一篇：数值分析第五章学习小结第五章插值与逼近--------学习小结姓名班级学号一、本章学习体会本章为插值与逼近，插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。通过对本章的学习熟练的掌握了几种常用的正交多项式的应用问题并且学会了利用递推关系式和一些性质，可以快速的写出最佳平方逼近多项式，还有就是曲线拟合，通过本章的学习能够熟练的使用最小二乘法去拟合所给的数据，并且能够通过构造正交多项式去拟合所给的数据。在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易张冠李戴，其次对正交多项式的性质理解不够透彻，这些问题在做题时就能够体现出来，所以说通过做题才能发现问题所在。二、本章知识梳理5.1Lagrange插值和Newton插值：xxj①Lagrange插值基函数lk(x),k0,1,2，n；j0xkxjnxxj②Lagrange插值多项式pn(x)yklk(x)[]yk；xxk0k0j0kjnnjkjkn③节点选取原则：居中原则；④Lagrange插值多项式的特点：直观对称，易建立插值多项式；但无继承性。Newton插值主要是差商的理解与应用，在做题过程中首先应根据已知条件构造差商表，然后根据差商表构造插值多项式；⑤截断误差的求取：f(n1)()f(n1)()Rn(x)w(n1)(x)，并且f[x0,x1,...,xn]w(n1)(x)，计算时一(n1)!(n1)!般采用截断误差的估计式：Rn(x)5.2Hermite插值插值公式：Hmn1(x)pn(x)qm(x)wn1(x)，其中pn(x)应根据已知条件，使用Newton插值法构造Newton插值多项式，最后根据已知条件求解Mn1wn1(x)。(n1)!Hmn1(x)。5.3样条插值①定义在[a,b]上对应与分划的K次样条函数总可表示为：1n1s(x)ajxcj(xxj)k，所以要想确定s(x)，需要n+k个条件；k!j0j1jk②三次样条插值问题（1）第一种边界条件：''''''''y0f''(x0),ynf''(xn)并且s''(x0)y0,s''(xn)yn（2）第二种边界条件：''''y0f'(x0),ynf'(xn)并且s'(x0)y0,s'(xn)yn（3）第三种边界条件：s'(x0)s'(xn),s''(x0)s''(xn)5.5正交多项式b(f,g)(x)f(x)g(x)dxa学习本节要熟练掌握权函数和内积的一些性质1.正交多项式的概念与性质①权函数：(x)b②内积：(f,g)(x)f(x)g(x)dxab③正交：(f,g)(x)f(x)g(x)dx0a0,ij④正交函数系：(i,j)(x)i(x)j(x)dxai0,ija克莱姆-施密特正交化方法：b0(x)1kk1k1(x)xakjj(x)(k0,1,)j0k1(x,j)其中a(j0,1，k)kj(,)jj2.几种常用的正交多项式①Legendre多项式L0(x)11dn2nLn(x)nn[(x1)],n1,2,2n!dx②Chebyshev多项式Tn(x)cos(narccosx),1x1③Laguerre多项式dn(xnex)Un(x)e,n0,1,dxnx④Hermite多项式dn(ex)nHn(x)(1)e,n0,1,dxnx225.6函数的最佳平方逼近①最佳平方逼近概念(f,f)min(f,f)Hn②最佳平方逼近的条件(fp,j)0③最佳平方逼近元素是唯一的④最佳平方逼近元素的求法p(x)**c(x)，求系数c*kkk0n*k⑤最佳平方逼近误差(fp,fp)5.6.4曲线拟合①曲线拟合的最小二乘法②拟合曲线的求法[(x)y][(x)y]min*2iiiii0Di0mm2Dspan{0(x),1(x)，n(x)},nm(x)c*jj(x)D*j0nA[0,1，n]，c[c0,c1，cn]T法方程为ATAcATy还可以通过构造正交多项式作为基函数组，然后去拟合给定的数据，此种方法不用求解矩阵，而是直接求解方程解出相应的系数。三、本章思考题问题1：在使用最小二乘法拟合所给数据时，是不是多项式的次数越高，拟合的精度越高？解：拟合的精度可以用误差平方和来描述，通常来说，如果