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数列不等式的证明举例（5篇）

第一篇：数列不等式的证明举例1.已知数列an满足a11,an12an1nN（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）若数列bn满足4b114b214b314bn1(an1)bn，证明：bn是等差数列；（Ⅲ）证明：1112nNaa3an132分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。解：（1）an12an1，an112(an1)故数列{an1}是首项为2，公比为2的等比数列。an12n，an2n1（2）4b114b214b314bn1(an1)bn，4(b1b2bnn)2nbn2(b1b2bn)2nnbn①2(b1b2bnbn1)2(n1)(n1)bn1②②—①得2bn12(n1)bn1nbn，即nbn2(n1)bn1③(n1)bn12nbn2④④—③得2nbn1nbnnbn1，即2bn1bnbn1所以数列{bn}是等差数列11111（3）n1n1an21222an111111111111设S，则S()(S)a2a3an1a22a2a3ana22an121212Sa2an13an13点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。2.已知函数f(x)xln1x,数列an满足0a11,an1fan;数列bn满足b1,bn1(n1)bn,nN*.求证:（Ⅰ）0an1an1;1212an2;（Ⅱ）an12（Ⅲ）若a1则当n≥2时,bnann!.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。*解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明0an1,nN.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即0ak1.则当n=k+1时,因为0又f(x)在0,1上连续,所以f(0)x2x2ln(1x)x,0x20,知g(x)在(0,1)上增函数.由g(x)1x又g(x)在0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.an2an2fan>0,从而an1.因为0an1,所以gan0,即2211n1b(Ⅲ)因为b1,bn1(n1)bn,所以bn0,n1,222bnbbb1所以bnnn12b1nn!————①,bn1bn2b12an2aaaaaaaaa,知:n1n,所以n=23n12n1,由(Ⅱ)an122an2a1a1a2an122,n≥2,0an1an1.2a1n2a121a1a2an1a1222222由①②两式可知:bnann!.因为a1点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。3.已知数列an满足a1（Ⅰ）求数列an的通项公式an；（Ⅱ）设bnan11(n2,nN)．，ann41an121an，求数列bn的前n项和Sn；（Ⅲ）设cnansin(2n1)，数列cn的前n项和为Tn．求证：对任意的nN，2Tn4．7分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：（Ⅰ）又1211，(1)n(1)n(2(1)n1]，anan1anan111n1，数列(1)3是首项为3，公比为2的等比数列．a1an(1)n11nn1.(1)3(2)，即ann1an321（Ⅱ）bn(32n11)294n162n11．1(14n)1(12n)Sn96n34n62nn9．1412(2n1)(1)n1，（Ⅲ）sin2(1)n11．cnn1nn13(2)(1)3211111当n3时，则Tn2n131321321321n21[1(1]1111111)23n1147322813232111111147484[1()n2]．286228684847T1T2T3，对任意的nN，Tn．7点评：本题利用转化思想将递推关系式