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数列求和方法总结

第一篇：数列求和方法总结数列的求和一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3．熟记一些常用的数列的和的公式．二、教学重点：特殊数列求和的方法．三、教学过程：（一）主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d22na1(q1)n（2）等比数列的求和公式Sna1(1q)（切记：公比含字母时一定要讨论）(q1)1q2．公式法：k2122232k1nn2n(n1)(2n1)62kk1n3123333n(n1)n233．错位相减法：比如an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：1111111()；n(n1)nn1n(n2)2nn21111()nn!(n1)!n!(2n1)(2n1)22n12n15．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6．合并求和法：如求10029929829722212的和。7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①Sn111111111n个②Sn(x)2(x21x1212n)(x)x2xn③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和Sn思路分析：通过分组，直接用公式求和。111010210k解：①ak11k个1k(101)911Sn[(101)(1021)(10n1)][(1010210n)n]99110(10n1)10n19n10[n]9981②Sn(x211142n2)(x2)(x2)242nxxx111)2nx2x4x2n(x2x4x2n)(x2(x2n1)x2(x2n1)(x2n1)(x2n21)（1）当x1时，Sn2n2n222n2x1x1x(x1)（2）当x1时,Sn4n③ak(2k1)2k(2k1)[(2k1)(k1)]k[(2k1)(3k2)]523kk222Sna1a2an5235n(n1)(2n1)3n(n1)(122n2)(12n)2226221n(n1)(5n2)6总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q1或q1讨论。2．错位相减法求和例2．已知数列1,3a,5a2,,(2n1)an1(a0)，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列a0,a,a2,,an1对应项积，可用错位相减法求和。解：Sn13a5a2(2n1)an1aSna3a25a3(2n1)an1212:(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an2a(1an1)n当a1时,(1a)Sn1(2n1)2(1a)1a(2n1)an(2n1)an1Sn(1a)2当a1时,Snn23.裂项相消法求和2242(2n)2例3.求和Sn1335(2n1)(2n1)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:(2k)2(2k)2111111ak11()(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)22k12k1111111112n(n1)Sna1a2ann[(1)()()]n(1)23352n12n122n12n1n(n1)(a1)123n2练习:求Sn23n答案:Sna(an1)n(a1)aaaa(a1)n2a(a1)4.倒序相加法求和012n例4求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2nmnm思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。Cn012n证：令SnCn3Cn5Cn(2n1)Cn(1)mnm(2)CnCnnn1210则Sn(2n1)Cn(2n1)Cn5Cn3CnCn