数学分析论文.docx

数学分析论文

第一篇：数学分析论文数学与统计学院期中考试（论文）学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：姓名：牟景峰14级本科一班2015年11月11日讨论n元函数的极限的证明与计算方法牟景峰（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳745000）【摘要】联系一元函数定义、极限、以及极限的证明方法和计算方法讨论得出多元函数极限的证明和计算方法。【关键词】n元函数极限证明计算方法引言在此之前我们已经学过一元函数，把一元函数的主要概念和极限推广到多元函数上是至关重要的，多元函数与一元函数相比，多元函数定义域的复杂性使得对讨论多元函数相关问题带来不便，因此，我们要在讨论多元函数时既要注意的多元函数与一元函数的区别，也要注意到它们的联系。这里我们将讨论两个问题，分别是多元函数极限的证明和计算方法。在此之前，我们首先给出多元函数的概念。一、n元函数的概念1、n维欧氏空间众所周知，实数轴上的点与全体实数一一对应。在确定的坐标系下平面上的点与所有有序实数对（x,y）一一对应，空间中点与所有有序三元实数组（x,y,z）一一对应。一般来说，定义所有有序n元实数组(x1,x2,…,xn)所组成的集合为n维欧几里德（Euclid）空间，简称n维欧氏空间，记为Rn，即Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn为实数}2、n元函数的概念⒈有了前面n维欧氏空间的概念我们就可以建立n元函数的概念了。我们学过一元和二元函数，将其推广到n（≥3）元函数，就没有什么原则上的困难。为此我们先建立n维欧氏空间Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn为实数}也就是说，Rn是全体有序的n个实数组的集合，把每个n元实数组看成Rn空间的点X=（x1，…，xi，…，xn），xi是它的第i（1≤i≤n）个坐标.Rn中的点X=（x1，…，xn）与Y=（y1,…,yn），当且仅当xiyi（1≤i≤n）时，才有X=Y成立。Rn的任何子集叫做n维点集。这样，n元函数不过是由n维点集到实数集的映射罢了。⒉设DRn,MR，fD×M,且对每个X=（x1，…，xn）D，有唯一确定的数uM与之对应，使（X,u）=（x1，…，xn；u）f，则称f为定义于D,取值于M的n元函数。记作f:D→M；或u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）D，D称为函数f的定义域，M称为f的取值域。n元函数u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）D的图像为集合S={（x1，…，xn；u）{u=f(x1，…，xn),（x1，…，xn）D}Rn1}.当n≥3时，S就没有直观的几何表示，我们称它为Rn1空间的超曲面。二、n元函数的极限的证明00设f(X)是n元函数，D称为其定义域，x0=（x1,x2,…,x0n）是D的聚点。对于实数A,如果任给﹥0，存在﹥0，使得当x属于D且0﹤|x﹣x0|﹤时，就有|f(X)﹣A|﹤，⑴则称A是xx0时f(X)的极限，记为xx0limf(X)=A.⑵特别地，当n等于2时，也记作limf（x1，x2）=A0xx10xx20注：U0（x0，）={（x1，…，xn）||xi﹣x1|﹤，i=1,2,…,n且（x1，x2，…，xn）≠（x,x,…,x）}或U（x0，）={（x1，…，xn）|0﹤01020n0(xk1nk02xk)﹤}据上定义，要证，limf(X)=A，只需证对任意的﹥0，存在﹥0，当DU0（x0，xx0）X时，有，|f(X)﹣A|﹤。这里找关键，通常是从不等式⑴入手，通过解⑴得到要找的，大家知道这往往是很困难的，常常要考虑函数f(X)本身的性态和一些解题技巧。一般地，证明⑵采取适当放大不等式⑴的方法。000|f(X)﹣A|≤…≤|x1x1|·|g1（x）|+|x2x2|·|g2(x)|+…+|xnxn|·|gn（x）|⑶(ⅰ)若|gi（x）|=M,（i=1,2,…,n）即gi（x）皆为常数，则取M=max{M1,M2,…,Mn}任意的﹥0取nM﹥0,当DU0（x0，）X时，有00|f(X)﹣A|≤…≤|x1x1|M1+…+|xnxn|Mn﹤M1M2Mn++…+nMnMnM≤即，limf(X)=Axx0（ⅱ）若存在1﹥0，使gi（x）（i=1,2,…,n）在U0（x0，1）D内有界，即当M﹥0,使任意的XU0（x0，1）D有|gi（x）|=M,（i=1,2,…,n）于是，当XU0（x0，1）D时，有00|f(X)﹣A|≤M（|x1x1|+…+|xnxn|）任意的﹥0，取=min（，1）XU0（x0，1）D时，有nM00|f(X)﹣A|≤M（|x1x1|+…+|xnxn|）=即