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数学分析教案(华东师大版)第十九章含参量积分

第一篇：数学分析教案(华东师大版)第十九章含参量积分《数学分析》教案第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。教学时数：12学时§1含参量正常积分一.含参积分:以实例和引入.定义含参积分和.含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1.含参积分的连续性:Th19.5若函数在Th19.8若函数和在在矩形域上连续,则函数上连续.(证)P172在矩形域上连续,函数在上连续.上连续,则函数(证)P1732.含参积分的可微性及其应用:《数学分析》教案1.含参无穷积分:函数可以是无穷区间).以分表示的函数.定义在上（为例介绍含参无穷积2.含参无穷积分的一致收敛性:逐点收敛(或称点态收敛)的定义:使.,,引出一致收敛问题.定义(一致收敛性)设函数,使分在(关于)一致收敛.定义在对上.若对成立,则称含参无穷积Th19.5(Cauchy收敛准则)积分收敛，在上一致对成立.例1证明含参量非正常积分其中.但在区间在上一致收敛，内非一致收敛.P1803.含参无穷积分与函数项级数的关系:《数学分析》教案Th19.8设函数和在则函数在在上连续.若积分在.上收敛,积分上可微,且一致收敛.3.可积性:积分换序定理.Th19.9设函数在有例3计算积分P186.在上一致收敛,则函数上连续.若积分在上可积,且四.含参瑕积分简介:§3Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数——Euler第二型积分：1.Gamma函数:考虑无穷限含参积分，《数学分析》教案但在区间内闭一致收敛.即在任何时,对积分,有上,,而积分一致收敛.因为收敛.对积分,积分,而积分收敛.由M—判法,它上一致收敛.们都一致收敛，在区间作类似地讨论,可得积分敛.于是可得如下结论:的连续性:也在区间内闭一致收在区间在区间内连续.的可导性:内可导,且同理可得:在区间.内任意阶可导,且3.凸性与极值:，.在区间在区间内严格下凸.(参下段)，内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2之间.4.的递推公式函数表:《数学分析》教案5.时,有意义.用其作为内.,又可把依此,可把延拓到函数的延拓:时该式右端在的定义,即把延拓到了,利用延拓后的内.时也时,依式延拓到内除去的所有点.经过如此延拓后的例1求.)解的图象如P192图表19—2.,，.(查表得)，..6.函数的其他形式和一个特殊值:函数.倘能如此,可某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为查函数表求得该积分的值.常见变形有:ⅰ>令,有=，考虑.《数学分析》教案:非负，和,时为正常积分;时,点为瑕点.由被积函数(由Cauchy判法)积分收敛.(易见时积分发散).数非负,:时为正常积分;时,点为瑕点.由被积函和,(由Cauchy判法)积分收敛.(易见时积分发散).综上,时积分，收敛.设D于是,积分定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数,记为,即不难验证，=函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此,函数是D内的二元连续函数.2.函数的对称性:.证=《数学分析》教案,因此得,.ⅱ>令,可得，.特别地,，.ⅲ>令,有==,即，ⅳ>令,可得.ⅴ>,.三.函数和函数的关系:函数和函数之间有关系式，3《数学分析》教案解，.例4求积分解令,有.I.例5计算积分.解判敛,把该积分化为,该积分收敛.(亦可不进行函数在其定义域内的值,即判得其收敛.)I.例6,求积分，5第二篇：数学分析教案(华东师大版)第二十章曲线积分《数学分析》教案第二十章曲线积分教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：10学时§1第一型曲线积分一.第一型线积分的定义:1.几何体的质量:已知密度函数,分析线段的质量2.曲线的质量:3.第一型线积分的定义:定义及记法.线积分,.4.第一型线积分的性质:P198二.第一型线积分的计算:1.第一型曲线积分的计算:回顾“光滑曲线”概念.Th20.1设有光滑曲线义在上的连续函数.则.(证)P199，.是定若曲线方程为:,则.《数学分析》教案,即.2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量:解释稳流场.(以磁场为例)..求在单位时间内通过曲线AB从左处的切向量为,设有流速场侧到右侧的流量E.设曲线AB上点(是切向量