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数学基本方法之三--待定系数法

第一篇：数学基本方法之三--待定系数法数学基本方法之三----待定系数法陕西洋县中学（723300）刘大鸣要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：(1)利用对应系数相等列方程；(2)由恒等的概念用数值代入法列方程；(3)利用定义本身的属性列方程；(4)利用几何条件列方程;比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.【方法再现性题组】x＋m，f(x)的反函数f1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为____25555A.,－2B.－，2C.,2D.－，－22222112二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____231设f(x)＝A.10B.－10C.14D.－143在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____A.－297B.－252C.297D.2074函数y＝a－bcos3x(b5与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________y2与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________42【方法探究过程】1小题：利用互为反函数的对应关系，求出反函数认识恒等意义求解，由f(x)＝－2m，比较系数易求，选C；2小题：认识方程，函数，不等式之间的一一对应关系，根与系数关系简化求解，由不等式解集(－可知－x＋m求出f1(x)＝2x211,)，23112、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；235523小题：注意多项式组成和二项式定理求解，分析x的系数由C10与(－1)C10两项组成，相加后得x的系数，选D；54小题：注意正余函数的有界性，由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案2；35小题：平行直线系的认识切入，设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；y26小题：共同渐近线的双曲线系方程的使用，设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即y2x2得方程－＝1。312【经典问题回放】函数值域的“逆向思维”中的“待定系数法”mx24xn例1已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。x21【解析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。函数式变形为：(y－m)x2－43x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0，∴△＝(－4)2－4(y－m)(y－n)≥0即：y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，m5m11(mn)mn120代入两根得：解得：或n1497(mn)mn120n55x24x1x24x5∴y＝或者y＝x21x21此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：mn6，解出m、n而求得函数式y。mn127【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写