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数列求和经典题型分析

第一篇：数列求和经典题型分析数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：Snn(a1an)2na1n(n1)2d2、等比数列求和公式：Snnna1naanqa1(1q)11q1q(q1)(q1)n3、Sn5、Snk1nk2(n1)4、Snk1k216n(n1)(2n1)32k[n(n1)]2k1例1（07高考山东文18）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列．（1）求数列{an}的等差数列．2，，（2）令bnlna3n1，n1，求数列{bn}的前n项和T．a1a2a37，解：（1）由已知得:(a3)(a4)解得a22．3a2.2设数列{an}的公比为q，由a22，可得a1又S37，可知2q2q，a32q．22q7，即2q5q20，12解得q12，q2．由题意得q1，q2．n1a11．故数列{an}的通项为an2．3n2，，（2）由于bnlna3n1，n1，由（1）得a3n12bnln23n3nln2，又bn1bn3ln2n{bn}是等差数列．Tnb1b2bnn(b1bn)n(3ln23ln2)3n(n1)ln2.故Tn3n(n1)ln2．练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N,求f(n)解：由等差数列求和公式得Sn∴f(n)＝Sn(n32)Sn1*Sn(n32)Sn112的最大值.12(n1)(n2)（利用常用公式）n(n1)，Sn＝＝nn34n641501n3464n(n8n)50150∴当n88，即n＝8时，f(n)max二、错位相减法设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。例2（07高考天津理21）在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，其中0．（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；n1n(2)2(nN)，0，（Ⅰ）解：由an1an可得an1n12n12n1，nannna2an2所以n为等差数列，其公差为1，首项为0，故nn1，所以数列an的通项公nnn式为an(n1)2．234n1n（Ⅱ）解：设Tn23(n2)(n1)，①Tn23(n2)(n1)345nn1②n1当1时，①式减去②式，得(1)Tn(n1)Tnnn11n1(n1)n1，2n12(1)(n1)1n1(n1)n2n(1)(n1)n2．这时数列an的前n项和Sn当1时，Tnn(n1)2nn1(1)2n12．2n1．这时数列an的前n项和Snn(n1)22．例3（07高考全国Ⅱ文21）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；an（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．bn12dq21，解：（Ⅰ）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且14dq13，解得d2，q2．所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1．．2n322n3222n3n2（Ⅱ）anbn322n12n1Sn152n122n12n2n1，①，②2n12n12Sn23②－①得Sn22n2，1112n12212n2n122221221n1162n32n12n12n1．三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例4（07豫南五市二联理22.）设函数f(x)OP222xx的图象上有两点P1(x1,y1)、P