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数学分析期末考试题

第一篇：数学分析期末考试题数学分析期末考试题一、叙述题：（每小题5分，共15分）1、正交多项式2、正项级数的比较判别法3、Rn上的基本列二、计算题：（每小题7分，共35分）1、40xtan2xdx2、计算10.5xlnxdx的cauchy主值23n(2)n3、求(x1)n的收敛半径和收敛域nn14、设zx2y2sin(xy)，求函数的梯度5、求ux2y2z2在（1，1，1）点的全微分三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）(y2x)21、讨论f(x,y)4（x，y）沿任何直线趋于（0，0）时的极限,(x,y)(0,0)，2yx和函数的二重极限2、讨论1的敛散性qnlnnn23、讨论函数项fn(x)nx(1x2)n(0x1)的一致收敛性。四、证明题：（每小题10分，共20分）11、证明Riemann函数R(x)p0yxq为既约分数在[0，1]上可积px为无理数2、设zx(x0,x1)，证明它满足方程xz1zzyxlnxy参考答案一、1、设gn(x)是定义在[a,b]上的多项式，若对任意的m和n，gm(x)，gn(x)在[a,b]上可积，且有的正交多项式连续。2、设bamnb0gm(x)gn(x)dx则称gn(x)是[a,b]上2g(x)dxmnanx,ynn1n1n是两个正项级数，若存在常数A0，成立xnAyn,n1,2则（1）当yn1n收敛时，xn1n也收敛（2）当xn1n发散时，也yn1n发散n3、如果R上的点列xk满足：对于任意给定的0，存在正整数K,对任意的k,lK，成立xlxk，则称xk为基本列。二、1、xtanxdx4xsecxdx4xdx1dx0（7分）0.5xlnx2ln2（7分）3222、解：(cpv)nn43(2)3、：lim，由于x时，级数收敛，3，收敛半径为1/3（4分）n3nx4、：42级数发散，所以级数的收敛域为[,)（3分）333zz=2xy3cos(xy)=2ysin(xy)xy2cos(xy)（4分）xygradu(2xy3cos(xy),2ysin(xy)xy2cos(xy))（3分）5、uxxxyz3uyyxyzuzzxyz（4分）du(dxdydz)（3分）(y2x)22三、1、解、由于沿ykx趋于（0，0）时，lim，而沿yx趋于1(x,kx)(0,0)y4x2（0，0）时极限为0，所以重极限不存在（5分）1|1dx2p12、函数非负递减，（3分）且(1p)lnx2xlnpxxlnqxlnlnx|2分）由此仅p1，收敛（2分）。3、limfn(x)0f(x)（3分），取np1p1，（511fn(xn)f(xn)(12)n1(n)，所以函数列不一致收敛（7分）nn四、证明题（每小题10分，共20分）xn1、证明：由Riemann函数的性质，0在[0,1]上使得R(x)的点至多只有有限个,（3''分）不妨设是k个，记为0p1pk1作[0,1]的分点0x0x2k11，使满足pi[xi1,xi],xixi12k1i1k1j0k1j1'2k,i1,2,k，由于ixi2j1x2j12jx2j，而在右边的第一个和式中，有x2j1且2k且2j11，在第二个和式中有2j以函数可积（7分）2、证明：xj1k12j1，因此得到ixi，所i1nuuxz1zxy11yyxy1，xylnx（6分）yxxlnxzxyyxlnxyylnx（4分）第二篇：数学系第三学期数学分析期末考试题及答案第三学期《数学分析》期末试题一、选择题：（15分，每小题3分）1、累次极限存在是重极限存在的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件2、f(x,y)|(x0,y0)（）xAlimx0f(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)；Blim；x0xxf(x0x,y0y)f(x0x,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)；Dlim。x0xxClimx03、函数f(x,y)在（x0，y0）可偏导，则（D）Af(x,y)在（x0，y0）可微；Bf(x,y)在（x0，y0）连续；Cf(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向导数均存在；D以上全不对