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数学分析公式定理2

第十二章富里埃级数§1富里埃级数一富里埃（Fourier）级数的引进定义：设是上以为周期的函数，且在上绝对可积，称形如的函数项级数为的Fourier级数(的Fourier展开式)，其中，称为的Fourier系数，记为说明1）在未讨论收敛性，证明一致收敛到之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的Fourier级数，或者说的Fourier级数是。2)要求上的Fourier级数，只须求出Fourier系数。二富里埃级数收敛性的判别1.Riemann（黎曼）引理设在（有界或无界）区间上绝对可积，则，.推论在上绝对可积函数的Fourier系数；2.Fourier级数收敛的充要条件定理1和,使得当时成立其中.3.Fourier级数收敛的Dini判别法推论:设在上除去有限点外存在有界导数,则的Fourier级数点点收敛,且特别地,是的连续点时，即例:设是以为周期的函数，其在上可表示为,判定的Fourier级数的收敛性.例：设是以为周期的函数,其在上等于,判定的Fourier级数的收敛性例：4.Jordan判别法设在上单调(或有界变差)，则。例：设是以为周期的函数，其在上可表示为,求的Fourier展开式。计算的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如，例：设是以为周期的函数,其在上等于,求的Fourier级数.如果仅定义在长为的区间上,例如定义在上,此时不是周期函数,从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对在外补充定义,使其以为周期,如定义,它有下述性质:a)时,；b)以为周期.例:三正弦级数和余弦级数定义形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数（函数项级数）称为余弦级数.2如果是以为周期的函数,在上绝对可积,若是奇函数,则有；若是偶函数,则有.3设仅在上有定义,如果按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数,所得Fourier级数必为正弦级数.对应地,补充定义后,再作周期延拓,必得偶函数,所得Fourier级数必为余弦级数。例:),将展开成余弦函数。例：将在上展开为余弦级数。四一般周期函数的Fourier级数设是周期为的函数,且在上绝对可积,则有,其中，例:求的Fourier展开式.五Fourier级数的复数表示形式设,则其复数表示形式为,其中,复的Fourier系数.§2富里埃变换一富里埃变换的概念设在内绝对可积。定义1称是的富里埃变换，并把它记为或。即。富里埃变换的性质（i）是内的连续函数；（ii）。定义2称是的富里埃逆变换。又称是的富里埃变换积分公式。例：求衰减函数的富里埃变换。例：求函数的富里埃变换和富里埃变换积分公式。二富里埃变换的一些性质富里埃变换有一些简单的性质，这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。性质1（线性），其中是两个任意给定的常数。性质2（平移）对任何，设，那么。性质3（导数）设，则。性质4。第十三章多元函数的极限和连续性§1、平面点集一邻域、点列的极限定义1在平面上固定一点，凡是与的距离小于的那些点组成的平面点集，叫做的邻域，记为。定义2设。如果对的任何一个邻域，总存在正整数，当时，有。就称点列收敛，并且收敛于，记为或。性质：（1）。（2）若收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。二开集、闭集、区域设是一个平面点集。1．内点：设，如果存在的一个邻域，使得，就称是的内点。2．外点：设，若存在的一个邻域，使，就称是的外点。3．边界点：设是平面上一点，它可以属于，也可以不属于，如果对的任何邻域，其中既有的点，又有非中的点，就称是的边界点。的边界点全体叫做的边界。4．开集：如果的点都是的内点，就称是开集。5．聚点：设是平面上的一点，它可以属于，也可以不属于，如果对的任何邻域，至少含有中一个（不等于的）点，就称是的聚点。性质：设是的聚点，则在中存在一个点列以为极限。6．闭集：设的所有聚点都在内，就称是闭集。7．区域：设是一个开集，并且中任何两点和之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在中，就称是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。三平面点集的几个基本定理1．矩形套定理：设是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且，那么存在唯一的点属于所有的矩形。2.致密性定理：如果序列有界，那么从其中必能选取收敛的子列。3.有限覆盖定理：若一开矩形集合覆盖一有界闭区域。那么从里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。4．收敛原理：平面点列有极限的充分必要条件是：对任何给定的，总存在正整数，当时，有。§2多元函数的极限和连续一多元函数的概念不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积由它的相邻两边的长和