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极限绪论习题3

第一篇：极限绪论习题31．利用有限覆盖定理证明致密性定理。证明：反证法：设{xn}：axnb，但是没有收敛子列。则x[a,b]都不是{xn}的任何子列的极限，从而对x[a,b]，O(x,x)，其中只含有{xn}的有限项。这样[a,b]O(x,x)，x[a,b]由有限覆盖定理，有有限子覆盖[a,b]O(xi,xi)。由于O(xi,xi)中只含有数列的有限1ik1ik项，所以[a,b]也只含有数列的有限项，与已知矛盾。2．利用致密性定理证明单调有界定理。证明：不妨设{xn}单增有界，由致密性定理，有收敛子列xnka，所以0，K,kK,|xnka|。取NnK1，则当nN时，nk0:nk0nnK1，使得xnK1xnxnk，所以|xna|，所以xna。03．（1）单调有界函数存在左右极限。证明：设f(x)在[a,b]单增有界。x0[a,b]，要证明f(x00)。下面仅证明f(x00)。取inff(x)，则对0，x'(x0,b],s.t.f(x')。取x'x0，则当0xx0[x0,b]时，f(x)f(x')，所以|f(x)|，得到f(x00)。（2）单调函数的不连续点都是第一类间断点。证明：设f(x)在[a,b]单增有界。设x0是f(x)的间断点，由（1）知f(x00)，所以x0不是第二类间断点。另外f(x00)f(x00)也不可能成立，因为f(x)单增，f(x00)f(x0)f(x00)，就有f(x00)f(x0)f(x00)，这样x0成为f(x)的连续点，矛盾。综上可见，x0只能是f(x)的第一类间断点。4．设f(x)C(a,b)，f(a0),f(b0)，则f(x)可取到f(a0),f(b0)之间的一切值（但可能不等于f(a0),f(b0)）。f(a0),xa证明：构造辅助函数：F(x)f(x),x(a,b)，则F(x)C[a,b]。由介值定理，F(x)f(b0),xb能取到最大值和最小值之间的一切值，因而也能取到f(a0),f(b0)之间的一切值，从而f(x)可取到f(a0),f(b0)之间的一切值（但可能不等于f(a0),f(b0)）。第二篇：极限习题1第一章函数与极限寒假作业基本功与进阶训练一、本章内容小结本章主要是函数、极限和连续性概念及有关运算；函数是高等数学研究的主要对象，而极限是高等数学研究问题、解决问题的主要工具和方法。高等数学中的一些的重要概念，如连续、导数、定积分等，不外乎是不同形式的极限，作为一种思想方法，极限是变量在无限变化过程中变化的趋势,是一个确定的值，把某些实际问题的确定结果看作一系列无限近似数值的变化趋势,即数列或函数的极限,这是一种重要的数学思想方法极限方法贯穿于高等数学的始终．连续是高等数学研究对象的一个基本性质，也是函数研究的重点之一。往往作为讨论函数问题的一个先决条件，且与后面将要学到的函数的可导性、可积性存在着不可分割的逻辑关系。讨论极限问题往往首先把自变量变化的趋势代入函数（数列）表达式中看函数变化的趋势.极限基本类型可以分为两大类，一般能用连续函数定义、无穷小定义和性质及已知收敛数列的结论等方法直接求出的极限不妨称为确定型极限.而有些极限如limxx0(x)fx分子、分母同时趋于零或无穷大,这个分式的极限可Fx能存在也可能不存在.这种极限分别称为“0”型和“”型未定式,还有五种类型：“0”,“”,0“1”,“0”,“”，在解题中一定要善于总结。求极限的方法可以归结很多条,常用的有1、利用极限的四则运算法则；2、利用数学公式及其变形求极限；（如分子或分母有理化等）；3、利用极限的夹逼准则求极限；4、利用等价无穷小的代换求极限；5、利用变量代换与两个重要极限求极限（也常结合幂指函数极限运算公式求极限）；6、利用洛必达法则求极限；7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求极限；8、利用函数的连续性求极限；9、利用导数的定义求极限；10、利用定积分的定义求某些和式的极限；11、先证明数列极限的存在（常用到“单调有界数列必有极限”的准则，再利用递归关系求极限）12、数列极限转化为函数极限等。要灵活运用极限的基本运算方法，如在利用洛必达法则时经常用到变量代换与等价无穷小的代换，这大大简化计算，再者如初等变形、变量替换等，不仅是求极限的基本运算，也是微分、积分运算中经常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角变换、求和等。以下习题包括以上求极限的基本方法，这也是第一章的主要内容，在做习题时一定要注意解题方法的总结