极限在高等数学中的地位.docx

极限在高等数学中的地位

第一篇：极限在高等数学中的地位极限在高等数学中的地位摘要：1821年柯西(1789―1857）在《分析教程》中，对极限概念的基本有了明确的叙述，并以极限概念为基础，对“无穷小量”、级无穷数的“和”等概念给出了比较明确的定义。后经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的卓越工作，又进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上，并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。微积分理论基础的严密化，使微积分跃进和扩展为现代数学的重要领域。本文将着重讨极限思想在高等数学中的广泛应用，从而体现极限在高等数学中的地位。关键词：极限的定义，极限在高等数学中的应用，极限思想对数学发展的影响。PositionlimitinHigherMathematicsAbstract:in1821,Cauchy(1789-1857)inthe“analysis”oftheconceptoflimit,thebasicwithaclearnarrative,andtakingthelimitconceptasthefoundation,to“infinitesimal”,infinitenumberofconceptssuchas“and”givesacleardefinition.Aftertheexcellentwork,Weierstrass,DaiDejinCantorBolzano,etal.,andfurtherthelimittheoryestablishmentintherealtheoryonthebasisofstrict,andtheformationofthedescriptionoflimitprocessepsilonDeltalanguage.Rigorouscalculustheory,thecalculusYuejinandextendedimportantfieldofmodernmathematics.Widelyusedinthispaperwillfocusonpleasinglimitthoughtinhighermathematics,whichreflectsthepositionlimitinhighermathematics.Keywords:definitionoflimit,limitinhighermathematics,limiteffectsofideasonthedevelopmentofmathematics.1极限的定义意即使不等式|Xn-a|函数极限：分为x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，运用ε-δ定义，以x→Xo，f(x)在点Xo以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0得小的正数，因此定义中不等式|Xn-a|数列极限：设{Xn}为实数列，L为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于L”。若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列。应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|3.1极限在微分，积分中的体现：积分定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],„,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,„，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,„,n），作和式（见右下图），设λ=max{△x1，△x2,„，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。微分定义：设函数y=f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示为Δy=AΔx0+o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。应用实例：已知方法，就其微分解：，应用极限极限思想在刚才的讨论中我们看到，无论是微分还是积分的定义，都用到了极限的思想，即当函数定义域内的某一变量，以一个非常非常小的值变化时，讨论函数的