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极限习题1

第一篇：极限习题1第一章函数与极限寒假作业基本功与进阶训练一、本章内容小结本章主要是函数、极限和连续性概念及有关运算；函数是高等数学研究的主要对象，而极限是高等数学研究问题、解决问题的主要工具和方法。高等数学中的一些的重要概念，如连续、导数、定积分等，不外乎是不同形式的极限，作为一种思想方法，极限是变量在无限变化过程中变化的趋势,是一个确定的值，把某些实际问题的确定结果看作一系列无限近似数值的变化趋势,即数列或函数的极限,这是一种重要的数学思想方法极限方法贯穿于高等数学的始终．连续是高等数学研究对象的一个基本性质，也是函数研究的重点之一。往往作为讨论函数问题的一个先决条件，且与后面将要学到的函数的可导性、可积性存在着不可分割的逻辑关系。讨论极限问题往往首先把自变量变化的趋势代入函数（数列）表达式中看函数变化的趋势.极限基本类型可以分为两大类，一般能用连续函数定义、无穷小定义和性质及已知收敛数列的结论等方法直接求出的极限不妨称为确定型极限.而有些极限如limxx0(x)fx分子、分母同时趋于零或无穷大,这个分式的极限可Fx能存在也可能不存在.这种极限分别称为“0”型和“”型未定式,还有五种类型：“0”,“”,0“1”,“0”,“”，在解题中一定要善于总结。求极限的方法可以归结很多条,常用的有1、利用极限的四则运算法则；2、利用数学公式及其变形求极限；（如分子或分母有理化等）；3、利用极限的夹逼准则求极限；4、利用等价无穷小的代换求极限；5、利用变量代换与两个重要极限求极限（也常结合幂指函数极限运算公式求极限）；6、利用洛必达法则求极限；7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求极限；8、利用函数的连续性求极限；9、利用导数的定义求极限；10、利用定积分的定义求某些和式的极限；11、先证明数列极限的存在（常用到“单调有界数列必有极限”的准则，再利用递归关系求极限）12、数列极限转化为函数极限等。要灵活运用极限的基本运算方法，如在利用洛必达法则时经常用到变量代换与等价无穷小的代换，这大大简化计算，再者如初等变形、变量替换等，不仅是求极限的基本运算，也是微分、积分运算中经常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角变换、求和等。以下习题包括以上求极限的基本方法，这也是第一章的主要内容，在做习题时一定要注意解题方法的总结，当然，有的题目可以灵活运用多种方法，希望以上方法的提示，能起到抛砖引玉的作用。第一部分基本习题00、limx01e1xx2。2、已知lim3x2,求a,b的值。3、limx。1etanx,x04、设函数f(x)arcsin在x0处连续,求a的值.22x,x0aex(et21)dt0,x0，5、设f(x)（1）当a为何值时，f(x)在x0处连续；（2）求f(0)。2xa,x06、证明方程x21至少有一个小于1的正根。第二部分中档习题1、设x12,xn1x11xn存在并求之.xn,(n1,2,),证明limx2xnn1f(a)2、设f(x)在xa处可导，f(a)0，lim。nf(a)3、设函数f(x)在的(,)内连续,且limxf(x)f(x)lim0,证明至少存在一点,使xxxf()0.gxcosx,x04、设fx，其中函数gx具有二阶连续的导数，且g01，xx0a,（1）确定a值使f(x)为连续函数；（2）求fx；（3）讨论fx在x0处的连续性.第三部分较难习题1、limxsinln(1)sinln(1)。xxx2、设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)（1）证明limxn存在，并求该极限；n31xn1xn（2）计算lim.nxn3、设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dt.x214、lim。x22x0cosxesinx12n15、求lim[(1)(1)(1)]n。nnnn第二篇：高数极限习题第二章导数与微分典型例题分析客观题例1设f(x)在点x0可导,a,b为常数,则limf(x0ax)f(x0bx)xabx0()f(x0)Aabf(x0)B(ab)f(x0)C(ab)f(x0)D答案C解f(x0ax)f(x0bx)limx0x[f(x0ax)f(x0)][f(x0bx)f(x0)]limx0xf(x0bx)f(x0)f(x0ax