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构造函数证明数列不等式

第一篇：构造函数证明数列不等式构造函数证明数列不等式ln2ln3ln4ln3n5n6n3n(nN*).例1.求证：23436ln2ln3lnn2n2n1例2.求证:(1)2,(n2)2(n1)23n例3.求证:例4.求证:(1练习：1求证:(112)(123)[1n(n1)]e2.证明:3.已知a11,an1(14.已知函数f(x)是在(0,)上处处可导的函数,若x2n311111ln(n1)123n12n111111)(1)(1)e和(1)(1)(12n)98132!3!n!e.ln2ln3ln4lnnn(n1)(nN*,n1)345n14112)a.ae证明.nnn2n2nf'(x)f(x)在x0上恒成立.(I)求证：函数g(x)(II)当x1f(x)在(0,)上是增函数；x0,x20时,证明:f(x1)f(x2)f(x1x2)；(III)已知不等式ln(1x)x在x1且x0时恒成立。5.已知函数f(x)xlnx.若a0,b0,证明:f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).第二篇：构造函数证明数列不等式答案构造函数证明数列不等式答案例1.求证：ln22ln33ln44ln33nn3n5n66(nN).*解析:先构造函数有lnxx1lnx11,从而xxln22ln33ln44ln33nn31（nn)因为n1123111111111nnn2134567892n13n13993323n13n66918275n6n所以ln22ln33ln44ln33nn31n5n635n66例2.求证:(1)2,ln22ln33lnnn2nn12(n1)(n2)解析:构造函数f(x)lnxx,得到lnnnlnnn2,再进行裂项lnnn11n11n(n1),所以有ln2,13ln3ln2,…,13n1nlnnln(n1),1n1ln(n1)lnn,相加后可以得到:1n1ln(n1)另一方面SABDE1n1ni1x,从而有1ninini1xnlnx|nilnnln(ni)取i1有,lnnln(n1),121n所以有ln(n1)1,所以综上有1n112!ln(n1)11n例11.求证:(1)(113!)(11n!)e和(119)(1181)(12n)e.解析:构造函数后即可证明例12.求证:(112)(123)[1n(n1)]e解析:ln[n(n1)1]23n(n1)12n3,叠加之后就可以得到答案例13.证明:ln23ln34ln45lnnn1n(n1)(nN*,n1)解析:构造函数f(x)ln(x1)(x1)1(x1),求导,可以得到:f'(x)1x112xx1'',令f(x)0有1x2,令f(x)0有x2,所以f(x)f(2)0,所以ln(x1)x2,令xn1有,lnnlnnn1n12n1所以,所以ln23ln34ln45lnnn1n(n1)(nN*,n1)例14.已知a11,an1(11n(n1)1nnn)ann.证明ane.12n解析:an1(1)an(11n(n1))an,然后两边取自然对数,可以得到lnan1ln(11n(n1)n)lnan然后运用ln(1x)x和裂项可以得到答案)放缩思路：an1(11nn2n)anlnan1ln(11nnn)lnanlnan1nnn。于是lnan1lnan1nnn，n1n1i1(lnai1lnai)i11n11()111112(2i)lnanlna112n2.1nn2ii21即lnanlna12ane.注：题目所给条件ln(1x)x（x0）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论2an1(11n(n1))an1n(n1)nn(n1)(n2)