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构造函数,结合导数证明不等式

第一篇：构造函数,结合导数证明不等式构造函数,结合导数证明不等式摘要：运用导数法证明不等式首先要构建函数，以函数作为载体可以用移项作差，直接构造；合理变形，等价构造；分析（条件）结论，特征构造；定主略从，减元构造；挖掘隐含，联想构造等方法进行证明.关键词：构造函数；求导；证明；不等式利用导数证明不等式是四川高考压轴题的热点题型之一，此类问题的特点是：问题以不等式形式呈现，“主角”是导数，而不等式的证明不仅技巧性强，而且方法灵活多变，因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”，如何有效合理地构造函数是证明不等式的关键所在，下面以实例谈谈如何构造函数的若干解题策略.注：此题也可用数学归纳法证明.解后感悟：函数隐藏越深，难度就越大，如何去寻找证明不等式的“母函数”是解决问题的关键，通过合理变形，展开思维联想的翅膀，发现不等式背后的隐藏函数，便会柳暗花明.结束语：导数为证明不等式问题开辟了新方法，使过去不等式的证明方法，从特殊技巧变为通性通法，合理构造函数，能使解题更具备指向性，剑之所指，所向披靡.第二篇：构造函数,利用导数证明不等式构造函数，利用导数证明不等式湖北省天门中学薛德斌2010年10月例1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a)．例2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0．求证：（1）f(0)f(2)2f(1)；（2）f(2)2f(1)．例3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n)．nm例4、（2010年辽宁卷文科）已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明：x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例5、（2010年全国Ⅱ卷理科）设函数fxxaIn1x有两个极值点x1、x2，且2x1x2，证明：fx212In2.4a0，b0，例6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x；1x11112ncln（2）设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例7、（1）已知x0，求证：第三篇：构造函数证明不等式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。例1.设：a、b、c∈R，证明：a2acc23b(abc)0成立，并指出等号何时成立。解析：令f(a)a2(3bc)ac23b23bc⊿＝(3bc)24(c23b23bc)3(bc)2∵b、c∈R，∴⊿≤0即：f(a)0，∴a2acc23b(abc)0恒成立。当⊿＝0时，bc0，此时，f(a)a2acc23ab(ac)20，∴abc时，不等式取等号。4例2.已知：a,b,cR且abc2,a2b2c22，求证：a,b,c0,。3abc222解析：2消去c得：此方程恒成立，a(b2)ab2b10，22abc2∴⊿＝(b2)24(b22b1)3b24b0，即：0b4同理可求得a,c0,34。3②构造函数逆用判别式证明不等式对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2由f(x)0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。例3.设a,b,c,dR且abcd1，求证：4a14b14c14d1﹤6。解析：构造函数：f(x)(4a1x1)2(4b1x1)2(4c1x1)2(4d1x1)2＝8x22(4a14b14c14d1)x4.(abcd1)由f(x)0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a14b14c14d1)21280.∴4a14b14c14d142﹤6.例4.设a,b,c,dR且abc1，求解析：构造函数f(x)(＝(1axa)2(149的最小值。abc2bxb)2(3cxc)21492)x12x1,(abc1)abc111由f(x)0（当且仅当a,b,c时取等号），632149得⊿≤0,即⊿＝14