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浅谈数学归纳法在高考中的应用5篇

第一篇：浅谈数学归纳法在高考中的应用赣南师范学院2015届本科生毕业论文1、数学归纳法的理论基础数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。1.1数学归纳法的发展历史自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明n2(n1)212n4333这是数学家对数学归纳法的最早证明。接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用“逐步的无限递进”，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了an1ann2其中ak123归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发k1,2他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递赣南师范学院2015届本科生毕业论文现的帕斯卡三角形。数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。帕斯卡、毛罗利科、伊本穆思依姆等都很自觉地使用归纳推理，传承运用数学归纳法，但一直没有明确的名称，而是英国数学家德摩根在其命名上迈出了重要的一步，他曾在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，建议将“归纳法（数学）”改为“逐次归纳法”，有意思的是在后来的一次无意中他无意中使用了“数学归纳法”这便成为了最早的名称。之后，英国数学家托德亨特的《代数》（1866年出版）中也采用了“数学归纳法”这一名称，从此这一名称在英国传播开了。1.2数学归纳法的逻辑基础数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。归纳公理：由自然数组成的集合为N，1N,若N中任意自然数的后继也属于N，则N包含了全部自然数。2、数学归纳法的步骤及其类型2.1第一数学归纳法设p(n)是关于自然数n的命题,如果p(n)满足:(1)p(1)成立；(2)假设当nk时,命题p(k)成立；可以推出p(k1)也成立，则命题p(n)对一切自然数n都成立。证明:设M是由满足命题p(n)的自然数组成的集合即M是自然数集N的子集,由于p(1)成立1M,又由(2)知kMk1M即k的后继k'M，由皮亚诺公理的归纳公理5得MN因此对于一切自然数n，p(n)都成立。第一数学归纳法的应用22n(n1)333例1用数学归纳法证明12n4nN证明:（1）当n1时，左边=1=右边命题成立赣南师范学院2015届本科生毕业论文（2）假设nk时命题成立，即k2(k1)212k433322k(k1)333(k1)3那么当nk1时，12(k1)4(k1)2(k2)24即当nk1时命题也成立，所以原命题成立。2.2第二数学归纳法假设p(n)是关于自然数n的命题,如果p(n)满足:(1)p(1)成立；(2)假设p(n)对于所有满足ak的自然数a成立，则p(k)也成立；那么,命题p(n)对一切自然数n都成立。证明:设M{n|p(n)成立，nN},又设ANM(差集)假设A不空,由自然数的最小数原理,A有最小数a0由条件(1)知1M,故a01因此1,2a01M,又由条件(2)知a01