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用导数证明不等式（共5篇）

第一篇：用导数证明不等式用导数证明不等式最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x).对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于0.这样就能说明原不等式了成立了!1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)设函数f(x)=x-ln(x+1)求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数f(x)>f(1)=1-ln2>o所以x>ln(x+12..证明：a-a^2>0其中0F(a)=a-a^2F'(a)=1-2a当00;当1/2因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0即有当003.x>0,证明：不等式x-x^3/6先证明sinx因为当x=0时，sinx-x=0如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定因为cosx-1≤0所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，知sinx再证x-x³/6对于函数x-x³/6-sinx当x=0时，它的值为0对它求导数得1-x²/2-cosx如果它要证x²/2+cosx-1>0x>0再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0再次对它求导数得x-sinx根据刚才证明的当x>0sinxx²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0x²/2-cosx-10所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0得x-x³/6利用函数导数单调性证明不等式X-X²>0，X∈(0,1)成立令f(x)=x-x²x∈则f'(x)=1-2x当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增当x∈时,f'(x)故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值为零故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。i、m、n为正整数，且1求证(1+m)^n>(1+n)^m方法一：利用均值不等式对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即/(m+1)>^即1+m>(2+m)^即(1+m)^(1/m)>^由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。方法二：导数方法令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0求导数f'(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2为了考察f'(x)的正负令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0g'(x)=-x/(1+x)^20因此g(x)0,亦即f'(x)因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。令A*B*C=K的3次方求证(1+A)的-(1/2)次方加(1+B)的-(1/2)次方加(1+C)的-(1/2)次方>=(1+K)的-(1/2)次方化成函数，f(x)，求导，可知其单调区间，然后求最大最小值即可。理论上所有题目都可以用导数做，但有些技巧要求很高。(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)对A求导，f'(A,B)A=0，可得一个方程，解出即得。第二篇：导数证明不等式导数证明不等式一、当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)f(x)=x-ln(x+1)f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)x>1,所以f'(x)>0,增函数所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0f(x)>0所以x>0时，x>ln(x+1)二、导数是近些年来高中课程加入的新内容，是一元微分学的核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。例1.已知x∈(0，)，求证:sinx第三篇：用导数证明不等式举例用导数证明不等式举例函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的问题转化为证明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)，然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1已知x(0,2)，求证：sinxxtanx分析：欲证sinxxtanx，只需证函数f(x)sinxx和g(x)xtanx在(0,2)上单调递减即可。证明：令f(x)sinxx，其中x(0,2)则f/(x)cosx1，而x(0,2)cosx1cosx10所以f(x)sinxx在(0,2)上单调递减，即f(x)sinxxf(0)0所以sinxx；令g(x)xtanx，其中x(0,2)则g/(x)11cos2xtan2x0，所以g(x)xtanx在(0,2)上单调递减，即g(x)xtanxg(0)0所以xtanx。综上所述，sinxx