用余弦定理证明勾股定理并非循环论证.docx

用余弦定理证明勾股定理并非循环论证

第一篇：用余弦定理证明勾股定理并非循环论证用余弦定理证明勾股定理并非循环论证大家都知道，勾股定理不过是余弦定理的一种特例，所以用余弦定理证明勾股定理就很容易；但是长期以来，有一种观点认为，余弦定理不能用来证明勾股定理，原因是余弦定理是用勾股定理证明出来的，然后用余弦定理又来证明勾股定理就是循环论证，说到这里，我就纳闷了，难道证明余弦定理非要直接或者间接的用到勾股定理？NO！简直是谬论，出于兴趣，偶在网上找到了一种证明余弦定理的方法，证明的过程和勾股定理扯不上一点关系。据说是伟大的科学家爱因斯坦在12岁时,在未学过平面几何的情况下,基于三角形的相似性,找到的这一巧妙和简单的证明余弦定理的方法。天才就是天才，汗……让我们看看天才是怎样一步一步证明余弦定理的：如图,在△ABC中,过C点作线段CD,CE交AB于D,E,使∠ACD=∠B,∠BCE=∠A。显然有：因为△ACD∼△ABC∼△CBE,所以：AC*AC=AD*AB,①BC*BC=BE*AB，②∠ADC=∠CEB，△CDE是等腰三角形AC/AB=CE/BC=CD/BC，即:CD=AC*BC/AB③而∠CDE=∠CED=∠A+∠B,由余弦定义知,cos(A+B)=cos∠CDE=（1/2*DE）/CD.于是DE=2*（CD*cos∠CDE）=2*CD*cos(A+B)。将③代入得:DE=2AC*BC/AB*cos(A+B)④根据①②④，便可以推导出：AC*AC+BC*BC=(AD+BE)*AB将①②代入=(AB−DE)*AB=AB*AB−DE*AB=AB*AB−2AC*BC/AB*cos(A+B)*AB将④代入=AB*AB−2AC·BCcos(A+B)=AB*AB+2AC·BCcos∠ACB。即：AC*AC+BC*BC=AB*AB+2AC·BCcos∠ACB。⑤⑤便是众所周知的余弦定理啦如此便证明了余弦定理。在图中,若D,E重合到虚线的位置,则∠ACB为直角,余弦定理变为勾股定理，因此，用类似的方法也可以证明勾股定理。由以上看到，证明余弦定理并非一定要涉及到勾股定理。所以用余弦定理证明勾股定理不存在所谓的循环论证。所以说，请不要认为用余弦定理证明勾股定理的方法是错误的，除非事先说明不允许用余弦定理，否则偶认为用余弦定理证明勾股定理是最简单的一种证明方法，大家都知道a=90°时cos(a)=0，代入余弦定理便得到勾股定理。参考文献：再談畢氏定理與餘弦定理的證明第二篇：用复数证明余弦定理用复数证明余弦定理法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根据向量的运算：=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得asinB=bsinA,即=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：c2=a2+b2-2abcosC;b2=a2+c2-2accosB.法二：如图5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、，即将(1)式改写为化简得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.2在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b则c^2=a^2+b^2-2ab*cosCa^2=b^2+c^2-2bc*cosAb^2=a^2+c^2-2ac*cosB下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a由勾股定理得：c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2=a^2+b^2-2a*CD因为cosC=CD/b所以CD=b*cosC所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC题目中^2表示平方。2作数量积，可知谈正、余弦定理的多种证法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应