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用导数证明不等式举例[优秀范文五篇]

第一篇：用导数证明不等式举例用导数证明不等式举例函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的问题转化为证明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)，然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1已知x(0,2)，求证：sinxxtanx分析：欲证sinxxtanx，只需证函数f(x)sinxx和g(x)xtanx在(0,2)上单调递减即可。证明：令f(x)sinxx，其中x(0,2)则f/(x)cosx1，而x(0,2)cosx1cosx10所以f(x)sinxx在(0,2)上单调递减，即f(x)sinxxf(0)0所以sinxx；令g(x)xtanx，其中x(0,2)则g/(x)11cos2xtan2x0，所以g(x)xtanx在(0,2)上单调递减，即g(x)xtanxg(0)0所以xtanx。综上所述，sinxxtanx评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0，然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以构造辅助函数为在(0,2)上是单调递增的函数（如：利用h(x)xsinx在(0,2)上是单调递增来证明不等式sinxx），另外不等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值（比如此例中的f(0)也可以不是0，而是便于放大的正数也可以）。因此例可变式为证明如下不等式问题：已知x(0,2)，求证：sinx1xtanx1证明这个变式题可采用两种方法：第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式sinxx以后，根据sinx1sinxx来证明不等式sinx1x；第二种证法：直接构造辅助函数f(x)sinx1x和g(x)xtanx1，其中x(0,2)然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：f(x)sinx1xf(0)10）例2求证：ln(x1)x分析：令f(x)ln(x1)x，经过求导易知，f(x)在其定义域(1,)上不单调，但可以利用最值证明不等式。证明：令f(x)ln(x1)x函数f(x)的定义域是(1,),f'(x)=1x1.令f'(x)=0，解得x=0，当-10,当x>0时,f'(x)练习：求证：1x1x31,其中x1,.例3：当x0时，证明不等式ex1xx2成立。证明：设fxex1x1x2,则f'xex21x.令g(x)ex1x,则g'(x)ex1.当x0时，g'xex10.g(x)在0,上单调递增，而g(0)0.gxg(0)0,g(x)0在0,上恒成立，即f'(x)0在0,恒成立。f(x)在0,上单调递增，又f(0)0,ex1xx0,即x0时，ex1xx成立。利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点函数值与0的关系，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式。21．（本题满分12分）已知函数f(x)（1x)naln(x1),其中nN*,a为常数．（I）当n2时，求函数f(x)的极值；（II）当a1时，证明：对任意的正整数n，当x2时，有f(x)x1.【标准答案】（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1，当n2时，f(x)1(1x)aln(x1)，所以f(x)2a(1x)2(1x)3．（1）当a0时，由f(x)0得x111，x211，此时f(x)a(xx1)(xx2)(1x)3．当x(1，x1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(x1，)时，f(x)0，f(x)单调递增．（2）当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)无极值．综上所述，n2时，当a0时，f(x)在x1f1a1ln22a．当a0时，f(x)无极值．（Ⅱ）证法二：当a1时，f(x)(1x)nln(x1)．当x2时，对任意的正整数n，恒有(1x)n1，故只需证明1ln(x1)≤x1．令h(x)x1(1lnx(1))