直线与方程教案.docx

直线与方程教案

第一篇：直线与方程教案平面解析几何第一讲直线方程知识归纳：一、直线的倾斜角与斜率1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）、直线的方向向量、直线的法向量2、直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；②规定：直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为00③直线倾斜角α的取值范围是：00≤α④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。3、直线的斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k=tanα(α≠900)。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当α=00时，k=0；当000；当α=900时，k不存在，当9001、给出下列命题：①若直线倾斜角为α，则直线斜率为tanα；②若直线倾斜角为tanα，则直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为例2、已知直线的倾斜角为α，且sinα=4，求直线的斜率k54、直线斜率的坐标公式经过两点P的直线的斜率公式：k=y1-y21(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)x1-x2注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即k=y1-y2=y2-y1(x≠x)12x1-x2x2-x1②特别地：当y1=y2,x1≠x2时，k=0；此时直线平行于x轴或与x轴重合；当y1≠y2,x1=x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900，直线与y轴平行或重合。例3、已知点P(2,1),Q(m,-3)，求直线P,Q的斜率并判断倾斜角的范围。例4、（三点共线问题）已知A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三点，证明这三点在同一条直线上例5、（最值问题）已知实数x,y，满足2x+y=8，当2≤x≤8时，求y的最大值和最小值x5、直线的方向向量：已知P是直线l上的两点，直线上的向量PP及与它平行的向量都1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)12称为直线的方向向量。直线PP与x轴不垂直时，x1≠x2，此时，向量12的坐标是1也是直线PP的方向向量，且它PP1212x2-x11，其中k为直线PP的斜率(x2-x1,y2-y1)，即（1，k）12x2-x16、直线的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量。二、直线的方程1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。2、直线方程的几种形式（1）点斜式：问题：若直线l经过点P，且斜率为k，求直线l的方程。0(x0,y0)解析：设点P(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得k=y-y0，可化为0x-x0、斜率为k的直线l的方程。y-y0=k(x-x0)，即为过点P0方程y-y0=k(x-x0)是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。注意：①k=y-y0与y-y0=k(x-x0)是不同的，前者表示直线上缺少一个点x≠x0，后者才是整条直线；x-x0②当直线l的倾斜角为00时，tan00=0，即k=0，这时直线l的方程为y=y0③当直线的倾斜角为900时，直线l斜率不存在，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是x=x0。即：局限性是不能表示垂直于x轴的直线。④经过点P的直线有无数条，可分为两类情况：0(x0,y0)ⅰ、斜率为k的直线，方程为y-y0=k(x-x0)ⅱ、斜率不存在的直线，方程为x-x0=0或写为x=x0例6、根据条件写出下列各题中的直线的方程①经过点P，倾斜角α=450，②经过点P,2)，斜率为2③经过点(4,2)，且与x轴平行1(-2,3)1(1④经过点(-2,-3)，且与x轴垂直（2）斜截式：问题：已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P(0,b)，代入直线方程的点斜式，得直线l的方程y-b=k(x-0)，也就是y=kx+b，我们称b是直线l在y轴上的截距。这个方程是由直线l的斜率k和它在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。注意：①b∈R②局限性：不表示垂直于x轴的直线③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是y=kx+b，但有区别：当斜率不为0时，y=kx+b是一次函数，当k=0